空间相干性与迈克耳孙干涉仪

前文中我们已经解决了有限远和无限远处点光源的干涉问题，接下来我们来考虑拓展光源，即非点光源，在空间中的干涉。 拓展光源产生的干涉图样取决于光源以及分光器，对这些内容的研究称为空间相干性。

拓展光源的分波面干涉

这一节中，我们将解决有限大小的拓展光源通过杨氏干涉仪（即双孔或双缝）产生的干涉图样。

点光源干涉的非定域性

我们设光屏平行于两个无限小的孔放置，正如此前提到的直线干涉图样那样，那么此时光程差为： \(\delta(M) = \mathcal L (SM)_2 - \mathcal L(SM)_2 = n \frac{ax}{D}\) 其中$x$是光屏上一点沿平行于两个小孔方向的坐标。 光屏上任意一点的辐照度从而可以表示为： \(\mathcal E(M) = 2 \mathcal E_0 [1 + \Gamma \cos \left( \frac{2\pi}{\lambda_0} n \frac{ax}{D} \right)]\) 我们设两个孔大小相同，那么$\mathcal E_1 = \mathcal E_2 = \mathcal E_0$，$\Gamma = 1$。

如果光源通过分波面进行干涉，那么总是会形成这种非定域的干涉条纹： 干涉条纹可见于被两个细孔发出的光覆盖到的所有空间位置。 这些可见干涉条纹的位置的集合称为干涉场。

点光源移动的影响

现在我们考虑点光源移动对干涉图样的影响。 沿用之前的定义，我们在空间中建立一个三维右手直角坐标系，并把光屏放置在OXZ平面上。 在Y轴负方向距离原点为$D$的位置上放置一个遮光板，沿X正负方向分别钻两个小孔，记为$S_1,S_2$，使其连线的中垂线和Y轴重合。 两小孔之间的距离为$a$。 在Y轴负方向距离遮光板$D^\prime$的位置上放置一个点光源，记为$S$。

现在让点光源在垂直于Y轴的平面上移动至$S^\prime$，我们设$S^\prime$的X坐标和Z坐标分别为$x^\prime$和$z^\prime$。 由于$S$的X和Z坐标都是零，其位移向量就是$(x^\prime, 0, z^\prime)$。

假设$x,z \ll D$，$x^\prime, z^\prime \ll D^\prime$，$a \ll D^\prime$。 那么，从$S^\prime$到光屏上一点$M$的光程差为： \(\delta_{S^\prime} = \frac{nax}{D} + \frac{nax^\prime}{D^\prime}\) 从干涉图样上看，这意味着同一阶的干涉条纹的位移向量为 \(- x^\prime \frac{D}{D^\prime} \vec e_x\) 注意方向相反。

从光源$S^\prime$到光屏上一点$M$的光程差等于从光源到遮光板的光程差加上遮光板到$M$的光程差。 而根据光路可逆的原理，从光源到光屏的光程差等于从光屏到光源的光程差，从而我们可以直接使用几何引理： \(\delta = n \vec{S_2S_1} \cdot \frac{\vec{IM}}{|IM|}\) 有： \(\begin{aligned} \delta &= \delta_S + \delta_{S^\prime} \\ &= n \vec{S_2S_1} \cdot \frac{\vec{IM}}{|IM|} + n \vec{S_2S_1} \cdot \frac{\vec{IS^\prime}}{IS^\prime} \\ &= \frac{nax}{D} + \frac{nax^\prime}{D^\prime} \end{aligned}\) 从而其辐照度等于： \(\mathcal E(M) = \mathcal E_0 (1 + \cos \left[ \frac{2n\pi}{\lambda_0} \left( \frac{ax}{D} + \frac{ax^\prime}{D^\prime} \right) \right])\)

两个不相干点光源

我们总是设点光源处在OXZ平面之中。 若两个点光源不相干，那么其在光屏上的成像就是两个点光源的干涉图样的简单相加。 我们设一个点光源正好位于Y轴上，这样我们可以直接用上文所述的平移的点光源进行研究。

简单的定性研究不难说明，如果平移后的点光源所成的干涉图样和原光源重合，那么干涉图样不会改变； 相对地，如果平移后的点光源所成的干涉图样的亮条纹恰好和平移前光源的暗条纹重合，那么干涉图样就会变得更加模糊。

我们使用以下命题来定量地描述这个问题。

两个点光源形成的干涉图样的对比度为： \(\Gamma(M) = \left| \cos \left[ \frac{\pi}{\lambda_0} (\delta_{S^\prime}(M) - \delta_S(M)) \right] \right|\)

\(\begin{aligned} \mathcal E(M) &= 2[1 + \cos (\frac{2\pi}{\lambda_0} \delta_S(M))] + 2[1 + \cos (\frac{2\pi}{\lambda_0} \delta_{S^\prime}(M))] \\ &= 2[2 + \cos (\frac{2\pi}{\lambda_0} \delta_S(M)) + \cos (\frac{2\pi}{\lambda_0} \delta_{S^\prime}(M))] \\ &= 2[2 + 2\cos(\frac{\pi}{\lambda_0}(\delta_S - \delta_{S^\prime})) \cos(\frac{\pi}{\lambda_0}(\delta_S + \delta_{S^\prime}))] \\ &= 2[2 + 2\cos(\frac{\pi}{\lambda_0} \frac{nax^\prime}{D^\prime}) \cos(\frac{\pi}{\lambda_0}(2\frac{nax}{D} + \frac{nax^\prime}{D^\prime}))] \end{aligned}\) 注意到： \(\mathcal E(M) = 2(1 + \Gamma \cos(\frac{2\pi}{\lambda_0} \delta(M))\) 从而 \(\Gamma = |\cos \frac{\pi}{\lambda_0}(\delta_S - \delta_{S^\prime})|\)

细线光源

根据之前的研究，不难看出，如果光源沿Z轴移动，即沿垂直于两光源连线的方向移动，那么条纹不会发生变化，只是辐照度增加。 因此，如果细线光源平行于Z轴，或垂直于两光源的连线，那么衍射图样不会发生变化。

拓展光源

现在，我们让细线光源沿X轴平移，形成一个拓展光源。 我们设这个光源的中心位于Z轴上，X坐标为零，宽度为$2b$。 显然，拓展光源形成的衍射图样会有所变化。

上图展示了这种变化，其中横轴表示光源的宽度，纵轴表示光屏上的X坐标。 不难发现，随着光源宽度上升，对比度先是下降，然后发生反转，我们马上就能证明这个结论。

设光源宽度为$2b$，那么对比度满足： \(\Gamma(b) = |\mathrm{sinc}(\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nab}{D^\prime})|\) 其中$\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$表示辛格函数。 随着辛格函数变号，干涉图样也会发生一次反转。

设在X坐标$x^\prime$和$x^\prime + \mathrm d x^\prime$之间的光源的辐照度为 \(\mathrm d \mathcal E_0 = \frac{\mathcal E_0}{2b} \mathrm d x^\prime\) 有： \(\begin{aligned} \mathrm E(M) &= \int_{-b}^b \mathrm d \mathcal E_0 (1 + \cos \frac{2\pi}{\lambda_0} (\frac{nax}{D} + \frac{nax^\prime}{D^\prime})) \\ &= \frac{\mathcal E_0}{b} \int_{-b}^b (1 + \cos \frac{2\pi}{\lambda_0} (\frac{nax}{D} + \frac{nax^\prime}{D^\prime})) \mathrm d x^\prime \\ &= 2 \mathcal E_0 + \frac{\mathcal E_0}{b} (\cos \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax}{D} \left[ \frac{\sin \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax^\prime}{D^\prime}}{\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{na}{D^\prime}} \right]_{-b}^b + \sin \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax}{D} \left[ \frac{\cos \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax^\prime}{D^\prime}}{\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{na}{D^\prime}} \right]_{-b}^b) \\ &= 2 \mathcal E_0 + \frac{\mathcal E_0}{b} \cos \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax}{D} \left( 2 \frac{\sin \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nab}{D^\prime}}{\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{na}{D^\prime}} \right) \\ &= 2 \mathcal E_0 (1 + \mathrm{sinc} \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nab}{D^\prime} \cos \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nax}{D}) \end{aligned}\) 从而 \(\Gamma = \mathrm{sinc} \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{nab}{D^\prime}\)

空间相干性

空间相干性的半定量判据

对于实际的光源，可以看作是许多不相干的点光源的集合，因为初相位几乎总是不相同。 然而，正如我们上文所述，如果光源过宽，那么对比度就会变低甚至反转。 我们提出以下判据，用来让干涉图样保持清晰。

设$S$为拓展光源的中心，该光源由一系列不相干的单色点光源组成，其中一个为$S^\prime$。 对于光屏上的一点$M$，该处的干涉图样保持清晰，若： \(\forall S^\prime, \, |\delta_{S^\prime}(M) - \delta_S(M)| < \frac{\lambda_0}{2}\) 空间相干性和光源与遮光板组成的整个系统有关，因为$\delta(M)$是由遮光板的位置决定的。

局域性定理

考虑任何一个产生干涉的分光器，无论其产生的是分波面干涉还是分振幅干涉，该分光器的输入为一个点光源$S$。 设$M$为光屏上的一点，用来观察干涉。 记$\vec u_1$和$\vec u_2$为两束进入干涉仪的光线的单位方向向量。

在$M$点的光程差可以写为： \(\delta(M) = \mathcal L(SM)_1 - \mathcal L(SM)_2\) 下标表示光到达该点的两条不同的路径。

若我们希望干涉图样不模糊，那么不同的点光源到达该位置的光程差应该为波长的整数倍。 考虑到拓展光源可以看成多个空间上相邻点光源的组合，由于连续性，这意味着光程差只能为零。

我们使用以下定理来判定光程差是否为零：

对两个点光源$S$和$S^\prime$，有： \(\delta(S,M) = \delta(S^\prime, M) \iff \vec {SS^\prime} \cdot (\vec u_2 - \vec u_1) = 0\)

有： \(\delta(S^\prime M) = \delta(SM) + n \frac{\vec{SS^\prime}}{D^\prime} \cdot \vec {S_2S_1}\) 其中$S_1$和$S_2$是遮光板上的两个孔，和光程的下标不同。 又： \(\vec{S_2 S_1} = \vec{S_2S} + \vec{SS_1} = S_2S \vec u_2 - S_1S \vec u_1 \approx D^\prime(\vec u_2 - \vec u_1)\) 代入即可。

要达成这种情况，只有两种可能。

• 光源的扩展正交于干涉光线的方向，比如在上文中提到的让光源在垂直于两孔的连线方向上拓展；
• 干涉的光线方向相同，这种情况只见于分振幅干涉。

从而我们提出下面这条定理：

分振幅干涉的设备被一拓展光源照亮时，干涉是定域的。 存在一个平面使干涉图样的对比度最大，该平面就是从同一入射光产生的两束干涉光相交的平面。 这个平面也称为定域面。

这里需要指出的是，干涉是否是定域的和实际干涉图案是否在空间中每个位置都可见没有必然关系。 干涉的定域性指涉的是在干涉图案存在时，干涉图案的对比度是否与位置有关，若有关则是定域的，否则是非定域的。 对于点光源的双缝干涉，虽然干涉图样只在空间中的一部分位置可见，但是对比度与位置无关，因此仍然是非定域的。 定域性的一种等价描述是在可见光的位置能否观察到干涉图样，如果有的位置可以看见光线，但不能发现干涉图样，则其是定域的。

迈克耳孙干涉仪

迈克耳孙干涉仪使用一面分光镜将入射光分为两部分，分别通过一面固定和一面可调的镜子进行反射，从而使其发生分振幅干涉。 我们接下来将会研究迈克耳孙干涉仪产生的干涉图样，为此，我们首先需要简化其光路图。

干涉仪的等效光路图

分光镜可以看作是一个既发生透射又发生反射的平面镜，因此我们提出以下定理，用于简化迈克耳孙干涉仪的光路研究。

迈克耳孙干涉仪可以等效地看作以下三个元素的组合： 原光源$S$关于分光镜反射的像$S^\prime$，作为新的光源； 一个反射镜$M_2$； 和另一个反射镜关于分光仪的像$M_1^\prime$。

以下插图说明了这个等效：

在等效的光路图中，不存在分光镜，因此研究得以简化。 实际上，现在我们只需要关心两个新的平面镜的相对位置即可。

点光源：空气薄膜与劈尖

空气薄膜干涉

当两个平面镜垂直，即一个平面镜与另一个平面镜的像平行时，两层镜子之间可以看作形成了空气薄膜，因此这种干涉实际上是薄膜干涉。

设光源关于分光仪的像为$S^\prime$，这个像关于新平面镜$M_1^\prime$和$M_2$的像为$S_1$和$S_2$，那么这个干涉实际上就是两个点光源$S_1$和$S_2$的干涉。 从以上推理不难看出，这种情况和此前研究的两个点光源的干涉完全等效，因此我们有以下命题：

点光源通过迈克耳孙干涉仪发生空气薄膜干涉时，设$M_1^\prime$和$M_2$的距离为$e$，那么两个点光源$S_1$和$S_2$之间的距离为$2e$。 从而，若$e \neq 0$，那么若光屏垂直于两光源连线，则其上可见非定域的环状干涉图样； 若$e = 0$，那么不发生干涉，从而不出现干涉图样，此时称为光学接触。

当薄膜厚度$e$减小时，中心处的光程差降低，级数降低，环数减少，从而可观察到圆环汇聚（吞）；当其增大时，可观察到圆环发散（吐）。

空气劈尖干涉

当$M_1^\prime$和$M_2$不平行，而是成一微小角度$\alpha \approx 1^\prime$时，两个平面镜之间形成一个空气劈尖。

若点光源位于有限远处，观察光路图不难看出，此时仍是两个点光源的干涉。 然而，由于此时两光源连线既不平行也不垂直于光屏，我们难以对其定量进行研究，只能定性地发现其图案类似直线。 其图样实际上是一族旋转双曲面的切面。

若光源位于无限远处，即产生平行光，那么此时通过两个平面镜会产生夹角为$2 \alpha$的两束平行光。 根据我们之前的研究，此时产生条纹状干涉，且条纹间距为： \(i = \frac{\lambda}{2 \sin (\frac{2\alpha}{2})} \approx \frac{\lambda}{2\alpha}\)

拓展光源：等倾与等厚干涉

如果简单地将点光源替换为拓展光源，迈克耳孙干涉仪上的干涉图样就会消失，然而，经过特殊的处理后，仍可见干涉图样。

空气薄膜与等倾干涉

当迈克耳孙干涉仪的两面镜子形成空气薄膜，且拓展光源通过凸透镜汇聚在动镜上时可见在无穷处的定域干涉。 通过凸透镜汇聚出射光线，可在光屏上发现环状干涉图样。
光屏上任意一点$M$的光程差为 \(\delta (M) = 2 n e \cos i\) 其中$e$表示薄膜的厚度，$i$表示入射光与镜子法线的夹角。

这种干涉也称为等倾干涉，因为光程差只与出射光的倾角有关，从而条纹上亮度相同的点的倾角相同。

越靠近中心的条纹，倾角越小，光程差越大，从而级数越高。 当薄膜厚度$e$减小时，中心处的光程差降低，级数降低，环数减少，从而可观察到圆环汇聚（吞）；当其增大时，可观察到圆环发散（吐）。 这与点光源的薄膜干涉相同。

空气劈尖与等厚干涉

当迈克耳孙干涉仪的两面镜子形成空气劈尖，且拓展光源经过凸透镜形成平行光，垂直入射在动镜上时，可在镜子上观察到定域干涉。 可以观察到干涉图样为条纹状。 其上某一点$M$的光程差为 \(\delta(M) = 2ne(M) = 2nx \tan \alpha \approx 2n\alpha x\) 其中$e(M)$表示$M$处劈尖的厚度，等于顶角$\alpha \sim 0$的正切乘以邻边的长度$x$（或正弦乘斜边，取决于在哪个镜子上观察）。 两条纹之间的间距为： \(i = \frac{\lambda_0}{2n \alpha} = \frac{\lambda}{2\alpha}\)

这种干涉也称为等厚干涉，因为光程差只与入射点劈尖的厚度有关，从而条纹上亮度相同的点的厚度相同。

如果要在镜子以外的地方观察到干涉图样，也需要使用凸透镜将出射光汇聚起来。