函数和级数的一致收敛
对任何函数列，我们都可以研究其收敛性： 我们定义对函数列$(f_n)$，如果存在一个函数$f$ \(\forall x \in X \quad \exists \varepsilon > 0 \quad \exists n \quad \forall p \quad p \ge n \implies | f_p(x) - f(x) | < \varepsilon\) 则称$(f_n)$简单收敛（或逐点收敛）至$f$。
这个定义非常简单，但是效果却不甚如人意。
考虑函数列$f_n: [0,1] \to \mathbb R, x \mapsto x^n$。 容易看出这个函数列逐点收敛至 \(f(x) = \left\{ \begin{aligned} 0 \quad x < 1 \\ 1 \quad x = 1 \end{aligned} \right.\) 函数列都是连续函数，但是其逐点收敛的极限却是一个不连续的函数。 这促使我们去寻找更加严格的条件来描述函数列的敛散性，这就是一致收敛。
一致收敛的判据
此节中我们假设$X$是一个非空集合。
我们定义对函数列$(f_n)$，$f_n: X \to V$，如果存在一个函数$f:X \to V$ \(\exists \varepsilon > 0 \quad \exists n \quad \forall p \quad \forall x \in X \quad p \ge n \implies | f_p(x) - f(x) | < \varepsilon\) 则称$(f_n)$一致收敛至$f$。
注意到在定义中交换了$x$出现的位置，这说明我们选择的$\varepsilon$等不再取决于自变量。 这是一致收敛和逐点收敛的最本质区别。 我们不再只考虑一个点处的局部情况，而是考虑整个函数一致的情况。
这个定义等价于存在一个趋于零的正数列$(c_n)$满足： \(\exists n \quad \forall p \quad \forall x \in X \quad p \ge n \implies |f_p(x) - f(x)| \le c_p\) 还等价于存在$n_0$使得$f_{n \ge n_0}-f_{n_0}$有界且数列$(f_n - f_{n_0})$在一致收敛范数（即全域上界）下收敛。 这也是上界范数也被称作一致范数的原因。
如果$(f_n)$逐点收敛，且存在一个有限的子集$A \subset X$，则$(f_n)$在$X$上一致收敛等价于在$X \backslash A$上一致收敛。
返回本章开头的例子，对于函数$f_n(x) = x^n$，在$[0,1)$上其上确界为1，不趋于零，从而其不在$[0,1)$上一致收敛。 但是，其在$[0,a],\forall a < 1$上一致收敛，因为$\mathrm{sup} \; f_n(x) = f_n(a) \to 0, \forall a < 1$。
函数级数的一致收敛
更进一步地，我们希望对函数列级数也有类似的定义。
假设$(u_n)$为一函数列，$u_n : X \to V$，若对于所有$x$，$\sum u_n(x)$收敛，则称函数列逐点收敛。 这等价于其部分和函数$f_n(x) = \sum_{k=0}^n u_n(x)$逐点收敛。 其极限 \(f: X \to V, x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)\) 称为这个函数级数的和，也记作$\sum_{n=0}^{\infty} u_n$。 若其部分和一致收敛至$f$，则也称这个级数一致收敛。
函数级数的一致收敛，即其部分和的一致收敛，等价于其余项的一致收敛（收敛至零）； 还等价于存在$n_0$使得$u_{n \ge n_0}$有界，且级数$\sum_{n \ge n_0} u_n$在绝对收敛范数（即全域的上确界）下收敛。
函数级数的一致收敛的必要条件是其每一项一致收敛至零，即$u_n$一致收敛至零。
函数级数一致收敛的判定较为复杂，为此我们引入正规收敛来辅助判断。
称函数级数$\sum u_n$正规收敛，若其满足以下有界条件： 存在一数列$(c_n)$满足 \(\forall n \quad \forall x \in X \quad |u_n(x)| \le c_n\) 且$\sum c_n < \infty$
以下命题指明了正规收敛和绝对收敛之间的关系：
函数级数$\sum u_n$一致收敛的充分条件是其正规收敛。
类比交错级数，我们也能给出交错函数级数的敛散性。
设$u_n$为实值函数，假设$\forall x \in X$，级数$\sum u_n(x)$是交错的，且函数级数$|(u_n)|$单调递减且一致收敛至零函数。 则级数$\sum u_n$一致收敛。
对所有$x \in X$，$\sum u_n(x)$满足交错级数的收敛条件，从而收敛，因此$\sum u_n(x)$存在。 又$|\sum_{k=n}^{\infty} u_k(x)| \le |u_n(x)|$，从而其余项一致收敛至0，因此原级数收敛。
连续性
此节中，我们假设$X$为一度量空间，$\mathbf d$表示其上的距离。
从本文开头的例子，我们可以发现，一致收敛和逐点收敛的不同之处的重大表现就是其连续性。 因此我们希望研究一致连续前提下极限函数的连续性。
设$(f_n)$为一函数列，$f_n : X \to V$，设$x \in X$。 若对所有$n$，$f_n$在$a$处连续，且$(f_n)$在$X$上一致收敛至$f$，记为$f = \lim_{n \to \infty} f_n$。 则$f$一定在$a$处连续。
因此我们可以说，如果一列从$X$到$V$的映射连续且一致收敛，则其极限在$X$上连续。
在求函数列极限的计算中，有时我们希望可以颠倒极限符号的顺序。 一致收敛的条件足够强，因此可以保证颠倒顺序后结果不变。 具体来说，以下命题成立：
设$a \in E \backslash X$为$X$的闭包上的一点。 $(f_n)$为一列从$X$映射到$V$的函数。 若对所有$n$，$f_n$在$a$处有极限，记为$l_n = \lim_{x \to a} f_n(x)$； 且函数列$(f_n)$在$X$上一致收敛，记为$f = \lim_{n \to \infty} f_n$。 $f$在$a$处有极限，则$(l_n)$收敛，且收敛至$\lim_{n \to a} f(x)$。 即 \(\lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x)\)
这个定理在无穷处也成立。
对函数级数，有类似的命题：
设$(u_n)$为一列从$X$到$V$的函数。 若$u_n$对所有$n$在$X$上连续； 且$\sum u_n$在$X$上一致收敛。 则$\sum u_n$在$X$上连续。
设$X$为$E$的一个非空子集，$(u_n)$为一列从$X$到$V$的函数，$a \in E \backslash X$为$X$的闭包上的一点。 若对于所有$n$，$u_n$在$a$处有极限； 且函数级数$\sum u_n$在$X$上一致收敛。 则级数$\sum \lim_{x \to a} u_n(x)$收敛，函数级数$\sum u_n$在$a$处有极限，且： \(\lim_{x \to a} \left( \sum_{n=0}^{\infty} u_n(x) \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{x \to a} u_n(x)\)
这个定理在无穷处也成立。
积分与求导
我们已经知道，极限符号的顺序对一致收敛的函数并不重要。 这启发我们寻找其他可以颠倒顺序的运算。 自然的，和极限紧密相关的积分和求导很快进入我们的视野。 实际上，我们可以证明，对一致收敛的函数列，可以调换积分或求导和极限的顺序。
设$(f_n)$为一列定义在区间$[a,b]$上的函数。 若$f_n$连续，且在该区间上一致收敛，则有： \(\int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n\) 同理，对于定义在$[a,b]$上的函数列$(u_n)$， 若$u_n$连续且$\sum u_n$在区间上一致收敛，则有： \(\int_a^b \sum_{n=0}^{\infty} u_n = \sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b u_n\)
设$I$为$\mathbb R$上一区间，$(f_n)$为一定义在其上的函数列。 若$f_n$k阶可导，且导函数连续； 且$(f_n^{(i)}), \quad \forall i = 1, 2, \dots, k-1$逐点收敛； 且$(f_n^{(k)})$在$I$的所有闭区间上一致收敛。 则$(f_n)$的极限k阶可导，且 \(\forall i = 1, 2, \dots, k \quad (\lim_{n \to \infty} f_n)^{(i)} = \lim_{n \to \infty} f_n^{(i)}\) 同理，对于级数，有 若$u_n$k阶可导，且导函数连续； 且$\sum u_n^{(i)}, \quad \forall i = 1, 2, \dots, k-1$逐点收敛； 且$\sum u_n^{(k)}$在$I$的所有闭区间上一致收敛。 则$\sum u_n$的极限k阶可导，且 \(\forall i = 1, 2, \dots, k \quad (\sum_{n = 0}^{\infty} u_n)^{(i)} = \sum_{n=0}^{\infty} u_n^{(i)}\)
维尔斯特拉斯逼近
如果一个函数在某个闭区间上连续，那么我们一定可以用某个多项式逼近它，这个定理叫做维尔斯特拉斯逼近定理。
设$f: [a,b] \to V$为一连续函数，对所有$\varepsilon > 0$，都存在一多项式$\psi:[a,b] \to V$，满足： \(\forall t \in [a, b] \quad \left| f(t) - \psi(t) \right| < \varepsilon\)
如果我们为向量空间$\mathcal C \left( [a,b]; V \right)$加上一致收敛范数$\Vert \cdot \Vert_\infty$（值为区间上像的范数的上确界）， 那么这个定理等价于由多项式组成的该空间的子空间是稠密的。
维尔斯特拉斯逼近还有一条定理与三角多项式，而非常规意义下的多项式有关。 那条定理会在研究傅里叶级数时提到。