系统的研究方法

我们来研究上图所示的一个系统。 图中$E(p)$表示输入量的拉普拉斯变换，$S(p)$表示输出量的，$P(p)$表示噪声或扰动。 我们已经知道，对于线性时不变系统，利用拉普拉斯变换，可以很简单的得出$S(p) = H(p) \cdot E(p)$，其中$H(p)$表示系统的传递函数。 现在，假设我们已经知道了系统中每一个部分的传递函数，要如何求出整个系统的传递函数呢？

首先，我们来看看最简单的情况：两个传递函数的“串联”。

假设第一个传递函数为$H_1(p)$，第二个传递函数为$H_2(p)$，输入量被第一部分作用后的输出为$\chi(p)$，那么有： \(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} \chi(p) &= H_1(p) \cdot E(p) \\ S(p) &= H_2(p) \cdot \chi(p) \end{aligned} \right. \\ & \implies S(p) = H_2(p) \cdot H_1(p) \cdot E(p) \\ & \implies H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = H_2(p) \cdot H_1(p) \end{aligned}\) 正如电路中的阻抗串联一样。

然而，实际系统和我们将要研究的系统一样，不可能只有简单的串联部分。 实际上，对这个系统，两大问题分别在于：系统中的反馈回路和系统外的扰动。 接下来，我们来解决这两个问题。

反馈回路

首先解决反馈回路的问题。考虑以下简单的带反馈系统：

对于这个系统，以下方程组成立： \(\left\{ \begin{aligned} S(p) &= A(p) \cdot \epsilon(p) \\ \epsilon(p) &= E(p) - u_m(p) \\ u_m(p) &= B(p) \cdot S(p) \end{aligned} \right.\) 解这个方程组，可得： \(S(p) = A(p) \cdot \left[ E(p) - B(p) \cdot S(p) \right] \implies H(p) = S(p) / E(p) = \frac{A(p)}{1+A(p)B(p)}\)

控制变量

反馈回路的问题已经解决，接下来就只剩下多变量的问题了。 为了解决这一问题，我们使用经典的控制变量法。 首先，假设系统没有受到扰动，即$P(p) = 0$。 系统就变成下图所示的简单负反馈系统。

利用前述公式，这个系统的传递函数容易得出： \(H_c(p) = A(p) \cdot \frac{H_1(p) H_2(p) H_3(p)}{1 + H_1(p) H_2(p) H_3(p) H_4(p)}\) 这个传递函数$H_c(p)$叫做系统的闭环传递函数。

接下来，我们假设系统的输入为0，求出系统关于噪声的传递函数。 待研究的系统可以转化为如下系统：

再次利用上述公式，求得： \(H_p(p) = \frac{H_3(p)}{1+H_2(p) H_1(p) H_4(p) H_3(p)}\) 这个传递函数叫做输出对扰动的传递函数。

综合

由系统的线性，当输入和扰动均不为零时，可以简单地把系统由它们分别产生的输出叠加起来。 从而，对于整个系统，有： \(S(p) = H_c(p) \cdot E(p) + H_p(p) \cdot P(p)\)

为了更好地研究这些系统，我们还定义了两个额外的传递函数：

• 输出对误差的传递函数 \(H_{CD}(p) = \left. \frac{S(p)}{\epsilon(p)} \right|_{P(p)=0} = H1(p) H2(p) H3(p)\)
• 开环传递函数 \(H_{BO}(p) = \left. \frac{u_m(p)}{\epsilon(p)} \right|_{P(p)=0} = H1(p) H2(p) H3(p) H4(p)\)

线性时不变系统的性能指标

• 稳定性：受到冲激时，无穷处输出为0，或对有界的输入，输出也有界；
• 强健性：系统抵抗扰动的能力；
• 准确性：系统响应指令的能力；
• 快速性：系统到达指定状态的速度，通常取到达目标值5%附近所需的时间；
• 阻尼：系统阻碍振动的能力，通常有欠阻尼、过阻尼和临界状态三种。