声波与高维波

本章中我们以声波为楔子，研究波在更高维空间的传递。

声学假设下的波动方程

声学中的流体力学假设

声波的定义

在忽略重力的情况下，静止的流体可以用以下均匀的矢量场表示： \(\vec v(M,t) = \vec 0, \mu (M,t) = \mu_0, P(M,t) = P_0\) 其中$\vec v$表示速度场，$\mu$表示密度场，$P$表示压力场。

声波是应用于该平衡状态的一个微扰，在声波存在的情况下，上面的场变为： \(\begin{aligned} \vec v(M,t) &= \vec 0 + \vec v_1(M,t), \\ \mu(M,t) &= \mu_0 + \mu_1(M,t), \\ P(M,t) &= P_0 + p_1(M,t) \end{aligned}\) 其中$p_1$是一个代数值，称为超压或声压；$\mu_1$也是一个代数值。

任何流体粒子以这种方式运动产生的波都可以叫做声波，除了声音的波之外，地震波也是一种声波。

声波有关的假设

根据声波的性质，为了方便我们的研究，我们做出以下假设：

• 流动是理想的，不存在压缩、粘性与摩擦；
• 无量纲量$\frac{\mu_1}{\mu_0}$、$\frac{p_1}{P_0}$和$\frac{\Vert \vec v_1 \Vert}{c}$是及其关于时间和空间的一阶导数是一阶无穷小，其中$c$为波速；
• 三个声学物理量关于时间的平均为零。

耦合方程

声波的耦合方程为三个线性化的偏微分方程： \(\mu_0 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t}(M,t) = - \vec \nabla p_1(M,t)\) 这个方程称为欧拉方程，实际上是运动方程； \(\mu_0 \nabla \cdot \vec v_1 (M,t) = - \frac{\partial \mu_1}{\partial t}(M,t)\) 这个方程称为质量方程； \(\mu_1 (M,t) = \mu_0 \chi_S p_1 (M,t)\) 这个方程称为绝热方程，其中$\chi_S = \frac{1}{\mu} \left(\frac{\partial \mu}{\partial P}\right)_S$，称作等熵压缩率。

首先考虑第一个方程，根据牛顿第二定律： \(\mu \frac{\partial v(t, M)}{\partial t} = - \vec \nabla P(M,t)\) 注意到$M$实际上是一个关于$t$的函数，这里需要使用复合函数的偏导： \((\mu_0 + \mu_1) \left[ \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac{\partial \vec v}{\partial \vec M} \frac{\partial \vec M}{\partial t} \right] = - \vec \nabla (P_0 + p_1(M,t))\) 其中$\frac{\partial \vec v}{\partial \vec M}$也可以写为$\vec v \cdot \vec \nabla$，后者为向量微分算子。 这表示将$\vec v$的每一个分量求偏导，然后乘上该分量的单位向量¹。 形如这种求导称为物质导数，是流体力学中导数的推广。 现在，注意到$\frac{\partial \vec v}{\partial \vec M} \frac{\partial \vec M}{\partial t}$是高阶无穷小，因此略去。 把梯度中的常数去掉，写成： \((\mu_0 + \mu_1) \frac{\partial \vec v}{\partial t} = -\vec\nabla p_1(M,t)\) 略去高阶无穷小$\mu_1 \frac{\partial\vec v}{\partial t}$即可得到第一个方程。

---

然后考虑第二个方程。 根据经典的质量守恒方程，有： \(\frac{\partial \mu}{\partial t} + \nabla \cdot (\mu \vec v) = 0\) 展开可得： \(\frac{\partial \mu_0 + \mu_1}{\partial t} + \nabla \cdot (\big( \mu_0 + \mu_1 \big) \vec v_1) = 0\) 略去常数的导数和高阶无穷小$\mu_1\vec v_1$可得： \(\frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \nabla \cdot \vec v_1 = 0\)

---

最后考虑第三个方程。 根据定义： \(\begin{aligned} \chi_S &= \frac{1}{\mu} \left. \frac{\partial \mu}{\partial P} \right|_S \\ &= \frac{1}{\mu_0 + \mu_1} \frac{\partial \mu_0 + \mu_1}{\partial P} \\ &\approx \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \mu_1}{\partial P} \approx \frac{\mu_1}{\mu_0 p_1} \end{aligned}\) 从而 \(\mu_0 p_1 \chi_S = \mu_1\)

声压方程

声压满足以下三维达朗贝尔方程： \(\Delta p_1 (M,t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0\) 其中$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}$。

对欧拉方程求散度，可得： \(\begin{aligned} \nabla \left( \mu_0 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} \right) &= - \nabla \cdot \vec \nabla \cdot p_1 \\ \frac{\partial}{\partial t}\left( \mu_0 \nabla \cdot \vec v_1 \right) &= - \Delta p_1 \\ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mu_1 &= - \Delta p_1 &\text{代入质量方程} \\ - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mu_0 \chi_S p_1 &= - \Delta p_1 &\text{代入绝热方程} \\ \Delta p_1 - \chi_S p_1 \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} &= 0 &\text{整理} \end{aligned}\)

数量级估计

理想气体的声波波速

理想气体中声波的波速为： \(c_s = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\) 其中$M$为摩尔质量。

假设整个过程是绝热的，那么有：$P V^\gamma = K$，其中$K$为一常数。 从而$V = K^{\frac{1}{\gamma}} P^{-\frac{1}{\gamma}}$。 有 \(\mu = \frac{m}{V} = \frac{m}{K^\frac{1}{\gamma}} P^\frac{1}{\gamma}\) 接下来计算： \(\begin{aligned} \frac{\partial \mu}{\partial P} &= \frac{m}{\gamma K^\frac{1}{\gamma}} P^{\frac{1}{\gamma}-1} \\ &= \frac{m}{\gamma V P^\frac{1}{\gamma}} P^{\frac{1}{\gamma} - 1} \\ &= \frac{m}{\gamma PV} \\ &= \frac{m}{\gamma nRT} \end{aligned}\) 从而 \(c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\partial \mu}{\partial P}}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\)

在拉普拉斯提出用绝热变换描述声波现象之前，科学家们一直使用等温变化进行建模，此时得出的波速为 \(c = \sqrt{\frac{RT}{M}}\) 对空气而言，这两者的误差可高达20%。

液体中的声波波速

液体的等熵压缩率较小且可视为常数，以水为例，$\chi_S = 5 \times 10^{-10} \text{Pa}^{-1}$，其波速约为$1.4 \times 10^3$米每秒，高达空气中声速的五倍。

声学假设的进一步讨论

在此前的假设中，我们曾设： \(\left( \vec v_1 \cdot \vec \nabla \right) \vec v_1 \ll \frac{\partial \vec v_1}{\partial t}\)

讨论两者相除的数量级，可得： \(\frac{\left( \vec v_1 \cdot \vec \nabla \right) \vec v_1}{\frac{\partial \vec v_1}{\partial t}} \sim \frac{| \vec v_1 |}{L \backslash t} \sim \frac{| \vec v_1 |}{c} \ll 1\) 其中$L$为系统的特征长度。 这表明我们的假设仅在粒子的特征运动速度远小于声速时有效。 这两个速度的比值称为马赫数。

声波的能量

声压的功率

在某一面积微元上，声压力的元功率可表示为： \(\mathrm d \mathcal P (M,t) = \mathrm d \vec F \cdot \vec v_1 = p_1(M,t) \vec v_1(M,t) \cdot \mathrm d \vec S(M)\)

我们定义声波的玻印廷矢量为 \(\vec \Pi (M,t) = p_1 (M,t) \vec v_1 (M,t)\) 国际制单位为瓦特每平方米。 玻印廷矢量在某一面积上的积分就是声波通过该面积传递的能量，若为正则其方向与面积规定的方向相同。

能量守恒方程

声波的局域能量守恒方程为： \(\nabla \cdot \vec \Pi (M,t) + \frac{\partial e}{\partial t}(M,t) = 0\) 其中 \(e(M,t) = \frac{\mu_0}{2} v_1^2 (M,t) + \frac{\chi_S}{2}p_1^2 (M,t)\) 可视为粒子的动能和“压缩势能”的密度。

\(\begin{aligned} \mu_0 \nabla \cdot \vec v_1 &= - \frac{\partial \mu_1}{\partial t} &\text{质量方程}\\ \mu_0 \nabla \cdot \vec v_1 &= - \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t} &\text{代入绝热方程} \\ p_1 \nabla \cdot \vec v_1 &= - \chi_S p_1 \frac{\partial p_1}{\partial t} \\ \end{aligned}\) 此式称为①式。 \(\begin{aligned} \mu_0 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} &= - \vec \nabla p_1 &\text{欧拉方程} \\ \mu_0 \vec v_1 \cdot \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} &= \vec v_1 \cdot \vec \nabla p_1 \end{aligned}\) 此式称为②式。 两式相加，得： \(\begin{aligned} p_1 \nabla \cdot \vec v_1 + \vec v_1 \vec \nabla p_1 &= - \chi_S p_1 \frac{\partial p_1}{\partial t} - \mu_0 \vec v_1 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} \\ \nabla \cdot (p \vec v_1) &= - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{1}{2}\chi_S p_1^2 + \frac{1}{2} \mu_0 v_1^2 \right] \end{aligned}\) 移项即可得原式。

此处的证明和电磁学中证明电场和磁场的能量耦合非常相似。

声波的全局能量守恒方程为： \(\frac{\mathrm d E}{\mathrm d t} (t) = - \oint_S \vec \Pi \cdot \mathrm d \vec S = - \oint_S p \vec v \cdot \mathrm d \vec S\)

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm d E}{\mathrm d t} &= \iiint_V \left( \mu_0 \vec v_1 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} + \chi_S p_1 \frac{\partial p_1}{\partial t}\right) \mathrm d \tau \\ &= - \iiint_V \left( \vec v_1 \vec \nabla p + p \nabla \cdot \vec v_1 \right) \mathrm d \tau &\text{使用①和②代换}\\ &= - \iiint_V \left( \nabla \cdot (p_1 \vec v_1) \right) \mathrm d \tau \\ &= - \oint_S \vec \Pi \mathrm d \vec S &\text{斯托克斯公式} \end{aligned}\]

声强与声能级

通常人耳能听到的声压约为$10^{-5}$至$100$帕斯卡。

我们定义，声波的玻印廷矢量的范数关于时间的平均数为声强，国际制单位为瓦特每平方米： \(I(M) = \langle \Vert \vec \Pi(M,t) \Vert \rangle\) 这个物理量的对数称为声能级，单位一般取分贝： \(\mathcal I_{dB}(M) = 10 \lg \left( \frac{I(M)}{\Pi_0} \right)\) 通常取$\Pi_0 = 10^{-12}$瓦特每平方米。

声波方程的解：三维平面谐波

波面与平面波

在电磁学中我们研究过平面波，此处加以复习：

• 若对波函数$\Psi(M,t)$存在一个表面使在任意固定的$t_0$时间上该平面上的点的波函数的值相等，则称这个平面为波面。
• 若某个波的所有波面都是平面，那么称这个波为平面波，这些平面称为波平面。
• 平面波的所有波平面必须都是平行的，这些波平面的法向量称为波的传递方向。

任何形如： \(\Psi (M,t) = \Psi(\pm \vec{OM} \cdot \vec n - ct)\) 的波函数都表示一个沿$\pm \vec n$传播的平面波。

平面谐波

平面谐波，或称平面单色波，是遵守以下形式的特殊的平面波： \(P(M,t) = p_m \cos (\omega t - \vec k \cdot \vec r + \varphi)\) 如果这个波是矢量而非标量，那么其矢量的所有三个坐标必须遵守相同的形式，且$\omega$和$\vec k$相同。

出于方便考虑，我们总是选择波的传播方向作为$X$轴，此时一个（标量）谐波可以写为： \(P(x,t) = p_m \cos (\omega t - k x + \varphi)\) 其中$p_m$称为振幅。 这个函数对时间和空间都具有周期性，满足： \(\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}, \quad k = \frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi \sigma\) 其中$T$称为周期，$f$称为频率，$\omega$称为角频率； $k$称为波矢，$\lambda$称为波长，$\sigma$称为波数。

谐波的复数表示

我们可以用复数来表示一个谐波： \(\underline{p}(M,t) = \underline{p_m} \exp \left[ j (\omega t - \vec k \cdot \vec r) \right]\) 其中： \(\underline{p_m} = p_m \exp (j \varphi)\)

复数表示的优点在于任何求导和积分运算都被转换成多项式的乘除：

• 对时间求偏导相当于乘$j\omega$；
• 对一维坐标（设为$x$）求偏导相当于乘$- j k_x$；
• 对标量波，求梯度相当于乘$-j \vec k$；
• 对矢量波，求散度相当于点乘$- j \vec k$，求旋度相当于在前面叉乘$-j \vec k$。

色散关系

满足达朗贝尔方程的单色行波满足色散关系： \(\Vert \vec k \Vert = \frac{\omega}{c}\)

解的性质与特点

声波的结构关系

我们知道，对电磁波而言，电场波和磁场波相互耦合，因此其具有一定的结构关系。 对声波而言，声压与速度也具有耦合关系，因此也具有一定的结构关系。

若声压波$p_1$是平面谐波，那么速度波$\vec v_1$也是，且其传播方向共线且同向。 两者之间满足结构关系： \(\vec v_1 (M,t) = \frac{p_1(M,t)}{\mu_0 c} (\pm \vec n)\)

这说明声压与速度同相且振幅成正比，并且由平面谐波描述的声波一定是横波，因为$\vec v_1$平行于$\vec n$。

只证明结构关系： 取 \(\left\{ \begin{aligned} \mu_0 \frac{\partial \vec v_1}{\partial t} &= - \vec \nabla p_1 \\ p_1 &= p_m \cos (\omega t \pm \vec k \cdot \vec x + \varphi) \\ \vec v_1 &= v_m \cos (\omega t \pm \vec k \cdot \vec x + \varphi) \vec e_x \end{aligned} \right.\) 第一个式子对时间求一阶偏导，然后代入后两个即可。

声阻抗

和电阻抗相同，若声波是平面谐波，那么我们也定义声阻抗： \(Z = \frac{p_1}{v_1}\) 国际制单位为千克每平方米每秒。

根据结构关系，立即可得：

• 若平面谐波的传播方向为正，那么$Z_\oplus = \mu_0 c = \sqrt{\frac{\mu_0}{\chi_s}}$；
• 若平面谐波的传播方向为负，那么$Z_\ominus = - \mu_0 c$。

水的声阻大约为1.6e6千克每平方米每秒，而空气的声阻抗仅有4.4e2千克每平方米每秒。 通常，固体的声阻抗略大于液体的，而液体的声阻抗远大于气体的。

平面谐波声波的能量

若声波具有平面谐波的形式，那么其能量平分为振动动能和压缩势能。 其玻印廷矢量满足： \(\vec \Pi (M,t) = \frac{p_1^2(M,t)}{\mu_0 c} \vec n = c e(M,t) \vec n\)

根据定义，其振动动能为$e_c = \frac{\mu_0}{2} v_1^2$，而其压缩势能为$e_p = \frac{\chi_S}{2} p_1^2$，代入结构关系即可得证。 玻印廷矢量满足： \(\begin{aligned} \vec \Pi &= p_1 \vec v_1 = \frac{p_1^2}{\mu_0 c} \vec n \\ &= c \chi_S p_1^2 \vec n \\ &= c (e_c + e_p) \vec n \\ &= c e \vec n \end{aligned}\)

声波方程的解：球面行波

具有以下形式的三维达朗贝尔方程的解称为球面波： \(p_1 (r,t) = \frac{f_\rightarrow(r-ct)}{r} + \frac{f_\leftarrow(r+ct)}{r}\) 其中$\frac{f_\rightarrow(r-ct)}{r}$称为从原点出发的发散波； 另一个称为汇聚波。

我们在球坐标系下求解达朗贝尔方程： \(\begin{aligned} \Delta s - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} &= 0 \\ \frac{\partial^2 s}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial s}{\partial r} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial s}{\partial t^2} &= 0 \end{aligned}\) 然后，我们使用$u = r \cdot s$进行换元，有： \(\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \left(\frac{u}{r} \right) &= \frac{1}{r} \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r^2} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2}{r^3} u \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2}{r^3} u \\ \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( \frac{u}{r} \right) &= \frac{2}{r^2} \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{2}{r^3}u \end{aligned}\) 两者代入方程可得： \(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0\) 从而$s = \frac{u}{r}$也是一组解，只要$u = r \cdot s$是达朗贝尔方程的解。 将行波解代入$u$即可发现$s$具有命题所述形式。

球面行波声压对应的速度

若声压满足$p_1(r,t) = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t - kr)$，那么速度满足： \(\vec v_1 (M,t) = \left[ \frac{A_0}{\mu_0 c r} \cos(\omega t - kr) + \frac{A_0}{\mu_0ckr^2} \sin(\omega t - kr) \right] \vec e_r\) 这两项的前一项称为远场，后一项称为近场。

\(\begin{aligned} \vec v_1 (M,t) &= \frac{1}{\mu_0} \int - \vec \nabla p_1 \mathrm d t \\ &= - \frac{A_0}{\mu_0} \int \left[ - \frac{1}{r^2} \cos (\omega t-kr) + \frac{k}{r} \sin(\omega t-kr) \right] \mathrm d t \vec e_r \\ &= - \frac{A_0}{\mu_0 r} \left[ -\frac{1}{\omega r}\sin(\omega t - kr) - \frac{k}{\omega} \cos(\omega t - kr) \right] \vec e_r + \cancel{\vec C} \\ &= \frac{A_0}{\mu_0 r} \left[\frac{\sin(\omega t - kr)}{kcr} + \frac{\cos(\omega t - kr)}{c}\right] \vec e_r \end{aligned}\) 将两个项相除，能得到： \(\frac{\text{近场}}{\text{远场}} \sim \frac{\lambda}{2 \pi r}\) 从而$r \ll \lambda$时近场其主导作用，而$r \gg \lambda$时反之。

不难注意到，在远场下，平面谐波的结构关系依然成立，但在近场下则不成立。

平均功率

发散谐波通过同原点球面的平均功率与该球面的半径无关。

\(I = \langle \vec \Pi \rangle = \langle \Vert p_1 \vec v_1 \Vert \rangle \approx \langle \Vert \frac{p_1^2}{Z} \vec e_r \Vert \rangle = \frac{A_0^2}{2r^2 Z}\) 然后对球面的面积积分，不难发现结果与半径无关。

法向入射声波的反射与透射

我们现在研究一维情况，设声波法向射入两个不同介质的界面，两个介质的声阻抗、密度和波速用下标不同的字母来表示。 设入射波的传播方向为$x > 0$，界面在$x = 0$处。 入射波、反射波和透射波的声压的复数形式如下： \(\begin{aligned} \underline{p_i}(x,t) &= \underline{p_{m,i}} \exp \left[ i (\omega t - k_1 x) \right] \\ \underline{p_r}(x,t) &= \underline{p_{m,r}} \exp \left[ i (\omega t + k_1 x) \right] \\ \underline{p_t}(x,t) &= \underline{p_{m,t}} \exp \left[ i (\omega t - k_2 x) \right] \\ \end{aligned}\) 根据下文所述边界条件不难验证三个波的角频率一定相等。

边界条件

在界面处粒子速度和声压都是连续的： \(\vec v_A(0, t) = \vec v_B(0,t), \; p_A(0,t) = p_B(0,t)\)

我们在界面两侧距离为$\varepsilon$处取两个平面，让这两个平面包围界面，然后使用物质守恒： \(\begin{aligned} \nabla \cdot \vec v &= - \frac{1}{\mu} \frac{\partial \mu}{\partial t} \\ \iiint_S \nabla \cdot \vec v \mathrm d \tau &= - \iiint \frac{1}{\mu} \frac{\partial \vec v}{\partial t} \mathrm d \tau \\ \iint_V \vec v \mathrm d \vec S &= - \iiint \frac{1}{\mu} \frac{\partial \vec v}{\partial t} \mathrm d \tau \end{aligned}\) 然后令$\varepsilon \to 0$，等式右边变为零，而左边只剩下对两个平面的积分： \(\iint \vec v \mathrm d \vec S = \vec v_B S_2 - \vec v_A S_1 = 0\) 若两侧面积相等，则速度相等。 对于声压，由于我们假设位移非常微小，因此可将界面视为静止的。 对界面使用牛顿第二定律，取$\vec a = 0$即可得证。

反射与透射系数

声压和速度的反射与透射系数定义为： \(\begin{array}{cc} \underline{r_{p, 1 \to 2}} = \frac{\underline{p_{m,r}}}{\underline{p_{m,i}}} & \qquad \underline{t_{p, 1 \to 2}} = \frac{\underline{p_{m,t}}}{\underline{p_{m,i}}} \\ \underline{r_{v, 1 \to 2}} = \frac{\underline{v_{m,r}}}{\underline{p_{m,i}}} & \qquad \underline{t_{v, 1 \to 2}} = \frac{\underline{v_{m,t}}}{\underline{p_{m,i}}} \end{array}\) （法向入射时）其值均为实数： \(\begin{array}{cc} {r_{p, 1 \to 2}} = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_1 + Z_2} & \qquad {t_{p, 1 \to 2}} = \frac{2Z_2}{Z_1 + Z_2} \\ {r_{v, 1 \to 2}} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} & \qquad {t_{v, 1 \to 2}} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} \end{array}\)

根据边界条件，我们知道： \(\left\{ \begin{aligned} \underline{p_{m,i}} \exp [j \omega t] + \underline{p_{m,r}} \exp [j \omega t] &= \underline{p_{m,t}} \exp [j \omega t] \\ \underline{v_{m,i}} \exp [j \omega t] + \underline{v_{m,r}} \exp [j \omega t] &= \underline{v_{m,t}} \exp [j \omega t] \\ \end{aligned} \right.\) 对所有$t$成立，从而它们的振幅满足： \(\left\{ \begin{aligned} \underline{p_{m,i}} + \underline{p_{m,r}} &= \underline{p_{m,t}} \\ \underline{v_{m,i}} + \underline{v_{m,r}} &= \underline{v_{m,t}} \\ \end{aligned} \right.\) 然后代入 \(\underline{v_{m,i}} = \frac{\underline{p_{m,i}}}{Z_1}, \; \underline{v_{m,r}} = -\frac{\underline{p_{m,r}}}{Z_1}, \; \underline{v_{m,t}} = \frac{\underline{p_{m,t}}}{Z_2}\) 即可。

不难发现当$Z_1 > Z_2$时，声压的反射系数为负数，这说明反射声压与入射声压相差半个相位。 当$Z_1 = Z_2$时，不发生反射，此时称为阻抗匹配。

反射与透射的能量

透射与反射的功率系数定义为： \(R_{1 \to 2} = \frac{\Vert \langle \vec \Pi_r (0, t) \rangle \Vert}{\Vert \langle \vec \Pi_i (0, t) \rangle \Vert}, \; T_{1 \to 2} = \frac{\Vert \langle \vec \Pi_t (0, t) \rangle \Vert}{\Vert \langle \vec \Pi_i (0, t) \rangle \Vert}\) 其值为： \(R = \left( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \right)^2, \quad T = \frac{4 Z_1 Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2}\)

我们知道$\Vert \vec \Pi \Vert = \frac{1}{2Z} p^2$，从而相除并代入反射或透射系数即可。

不难注意到$R + T = 1$，这是因为界面不能储存能量，从而反射和透射的能量之和总是等于入射能量。

多普勒效应

当波的发射源和接收者出现相对移动时，接收者收到的波会被扭曲，具体而言可分为四种情况讨论：

1. 相对静止：发射源和接收者相对静止时，接收到的波没有变化；
2. 相对速度小于波速：相对靠近时，波长变短，相对远离时，波长变长；
3. 相对速度等于波速：波不能超过发射源；
4. 相对速度大于波速：波落后于发射源。

我们重点关注第二种情况，此时就会发生多普勒效应。

定义与公式

我们还是考虑相对速度较低的非相对论情形，此时有三个惯性参考系存在：

1. 波媒介所在的参考系，即通常认为的静止系，此参考系下的波速为$c$；
2. 发射源所在的参考系，设其相对第一个参考系的速度为$v_e$；
3. 接收方所在的参考系，设其相对第一个参考系的速度为$v_r$。

多普勒效应表示发送方和接收方感知的波的频率不同的效应。 设发射源的频率为$f_e$，接收方收到的频率为$f_r$，则有： \(f_r = \frac{c - v_r}{c - v_e} f_e\)

对发送方而言，发送的第一个波峰和第二个波峰之间的距离为$d_2 = c T_e$，即一个波长的距离。 在静止系下，这个距离，即波长，变为：$d_1 = (c - v_e) T_e$。 最后我们关注接收方接收到的两个波峰之间的距离，进而计算其波长。 由于接收方也在移动，因此波峰之间的距离还要加上接收方移动的距离，从而： \(\begin{aligned} & d_2 = c T_r = d_1 + v_r T_r \\ \iff & (c - v_e) T_e = (c - v_r) T_r \\ \iff & \frac{f_e}{c - v_e} = \frac{f_r}{c - v_r} \end{aligned}\) 从而原命题得证。

1. $\vec v \cdot \vec \nabla \vec v$既可以看作$(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$，其意义和本文所述一样，也可以看作$\vec v \cdot (\vec \nabla \vec v)$，此时后者表示协变导数或雅可比矩阵。 ↩