刚体动力学
这篇文章中我们来研究刚体的动力学。 刚体（rigid body）是各种动力学中常见的模型，可以用来研究多种工程问题，其最基本的假设为：刚体上任意两点之间的距离（大小和方向）永远保持不变。 在研究刚体时，我们基本只用上这个假设。 通常来讲，我们还会假设刚体的质量是连续分布的，但这个假设对动力学的研究没有特别大的影响，因为物理中的积分和求和的界限远不如数学中明确。
平面运动的刚体动力学
首先我们研究刚体运动的最简单情况：平面运动。
平面运动的基本研究
若刚体上任意一点在运动之中到某一固定平面的距离始终保持不变，那么称该刚体的运动为平面运动。
不难发现，平面运动的刚体总是可以视作和在该平面上运动的一个平面图形等价，而二维中的所有运动（本质上是维持距离不变的仿射变换——线性部分为正交变换的仿射变换）都可以拆分成一个平面运动（即线性部分为恒等变换的仿射变换，或平移）和定轴转动（即正交变换，或旋转）。
由于仿射变换与选择的基底和原点无关，只要确定这个平面，刚体的的运动就是确定的，可以用刚体上任意一个定点相对于定系平移运动和刚体上任意两定点之间的连线相对于定系的转动表示。 定点的选择不同意味着选择的基底不同，因此相同的运动也会由不同的方程表示。 但是，不难发现，这种差距只在常数项上，而我们主要研究的速度和加速度，经过求导之后都会消失，因此与基底的选择无关。
刚体转动的角速度和角加速度就定义为刚体上任意定点的连线相对于定系的转动的角速度和角加速度。
平面运动刚体上各点的速度
取平面图形上任意两点，我们可以研究两点之间的速度和加速度的关系。 我们设$A,B$为平面图形上的两点，以$A$点作为原点建立平移的坐标系。 根据上文的研究，刚体的运动可以由$A$点相对原点的平移和$B$点相对$A$点的转动完全描述。
根据速度合成定理，不难发现： 以$A$点为原点的坐标系为动系，牵连运动为$A$点的平移，相对运动为$B$点绕$A$点的圆周运动，则： \(\vec v_B = \vec v_A + \vec v_{BA} = \vec v_A + \vec \omega \times \vec r_{AB}\) 其中$\vec v_B$为$B$点在定系下的速度，$\vec \omega$为圆周运动的角速度，即刚体定轴转动的角速度。
利用这一命题求解平面图形上任意一点速度的方法称为速度合成法。
不难注意到，由于$B$点绕$A$点圆周运动，其相对速度方向垂直与$AB$连线。 如果我们只需要速度的大小而不需要方向，可以将速度投影到连线上，小区相对速度，从而可得： \(v_B \cos \theta_B = v_a \cos \theta_A\) 其中$\theta$表示某点到$AB$连线上的有向夹角。 利用这一命题求解速度的方法称为速度投影法。
如果刚体上存在一点瞬时速度为零，那么将该点设为定点，即可消去$\vec v_A$： \(\vec v_B = \vec \omega \times \vec r_{AB}\) 这种点称为速度瞬心，利用速度瞬心求解速度的方法称为速度瞬心法。 只要平面图形的角速度不为零，那么速度瞬心必然唯一地存在。 但是在不同瞬间图形的速度瞬心很可能不同，需要具体分析。 如果平面图形的角速度在某一瞬间为零，那么称该瞬间刚体瞬时平移，显然，瞬时平移和平移不相同，例如，刚体可能存在角加速度，从而使刚体角速度在某一瞬时为零。
注意到从速度瞬心出发产生的所有速度都会垂直于连线，速度瞬心必然出现在速度垂直的连线的交点处，这可以为我们提供一种寻找速度瞬心的简易方法。
以在平面上无滑动地匀速滚动的一个圆柱为例，由于其无滑动，刚体与平面的接触点的速度为零，因此该点为速度瞬心，这意味着刚体上的速度分布实际上和绕接触点转动相同，这似乎和圆柱绕圆心转动矛盾。 然而，仔细考虑不难发现，圆柱绕圆心的运动是相对运动，而不是（以地面为定系的）绝对运动，从地面系看来，其上的速度分布确实和绕接触点转动的圆柱相同。
平面运动刚体上各点的加速度
平面运动刚体上各点的加速度也可以按照类似的方式来研究。 由于我们选择的动系是平移的，计算绝对加速度时不需要考虑科氏加速度，直接应用加速度合成定理，可得：
\(\vec a_B = \vec a_A + \vec a_{BA} = \vec a_A + \vec a_{BA}^t + \vec a_{BA}^n\) 其中： \(\vec a_{BA}^t = \vec \alpha \times \vec r_{AB}, \; \vec a_{BA}^n = \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_{AB})\) 或者，在自然坐标系（弗勒内坐标系）下，利用切向量和法向量，可以写成： \(\vec a_{BA}^t = \alpha |AB| \hat{\mathbf{T}}, \; \vec a_{BA}^n = \omega^2 |AB| \hat{\mathbf N}\)
当平面图形的角速度和角加速度不同时为零时，平面图形上也存在加速度为零的点，这个点称为加速度瞬心。 将加速度瞬心作为定点，加速度可写为： \(\vec a_B = \vec a_{BA}^t + \vec a_{BA}^n\)
不同于速度瞬心，加速度瞬心相对难以找到，因此该方法并不常用。 但是，若刚体瞬时平移，那么从加速度瞬心出发的法向加速度为零，也可以利用作垂线的方式找到加速度瞬心。
刚体上的速度和加速度瞬心通常不重合，继续以平面上无滑动地匀速滚动的圆柱为例，该圆柱的加速度瞬心在圆心处。
定轴转动的刚体动力学
我们知道，刚体的平面运动可以拆分成平移与定轴转动，考虑到平移相对简单，我们现在来研究刚体的定轴转动。
刚体的动量矩定理
设刚体在$n$个外力$\vec F_i$下绕定轴$z$轴转动，对刚体中的每一个微小质点求解对定轴的动量矩，可得： \(\begin{aligned} \vec L_z &= \sum_i \vec r_i \times m_i \vec v_i \\ &= \sum_i \vec r_i \times m_i (\vec \omega \times \vec r_i) \\ &= \sum_i m_i \vec \omega (\vec r_i \cdot \vec r_i) - \sum_i m_i \vec r_i (\vec r_i \cdot \vec \omega) \\ &= \vec \omega \sum_i m_i r_i^2 \end{aligned}\) 其中$\vec r_i$为点到定轴$z$的距离，该矢量垂直于$z$轴。（实际上，根据定义，对定轴的动量矩等于对轴上任意一点的动量矩在该轴上的投影，我们总可以选择合适的点来消去$z$轴分量以简化计算。）
取矢量的大小，可得： \(L_z = \omega \sum_i m_i r_i^2 = J_z \omega\) 其中，$J_z$是一个仅和刚体本身有关的常数，称为沿$z$轴的转动惯量（rotational inertia）。
现在应用动量矩定理，可得： \(\frac{\mathrm d L_z}{\mathrm d t} = J_z \frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d t} = \sum_{i=1}^n M_z (\vec F_i)\) 将角速度的导数写成角度的二阶导或角加速度的形式，就有以下命题：
\(J_z \alpha = \sum_{i=1}^n M_z (\vec F_i) \iff J_z \frac{\mathrm d^2 \varphi}{\mathrm d t^2} = \sum_{i=1}^n M_z (\vec F_i)\) 这两个式子分别称为刚体定轴转动的动力学方程和微分方程。
这些式子也可以写成矢量的形式，但是这些矢量都只有在垂直平面方向上的分量，因此与标量形式无异。
刚体的转动惯量
不难意识到，刚体的转动惯量正是对刚体在转动时的惯性的度量。 利用刚体的转动惯量，我们可以计算刚体的回转半径。
刚体对一定轴的回转半径（radius of gyration），是刚体中所用质点对该轴的均方根距离，其值可用转动惯量表出： \(\rho_z = \sqrt{\frac{J_z}{m}}\)
简单刚体的转动惯量可以通过按定义积分或查表得出，而复杂刚体的转动惯量通常只能通过实验测量得到。 若我们已知刚体对穿过质心的某轴的转动惯量，则其对与该轴平行的其他轴的转动惯量可用平行轴定理算出：
设$J_{C}$代表刚体对于质心轴的转动惯量、$m$代表刚体的质量、 $d$代表另外一支直轴 $z^\prime$轴与质心轴的垂直距离。那么，对于$z^\prime$轴的转动惯量是： \(J_{z^\prime} = J_C + m d^2\)
和平行轴定理相对的还有垂直轴定理和伸展原理，这些定理都可以用来求出规则几何体的转动惯量。
刚体的动能
对刚体中的每一个质点相对质心应用柯尼希定理，即可得出定轴转动刚体动能的表达式： \(T = \frac{1}{2} m v_c^2 + \frac{1}{2} J_C \omega^2\) 其中，$J_C$表示定轴转动的刚体对垂直平面穿过质心的转轴的转动惯量。
应用平行轴定理，我们可以在知道刚体对任何一个垂直轴的转动惯量的前提下求出刚体的动能： \(T = \frac{1}{2} m v_c^2 + \frac{1}{2} (J_{z^\prime} - m d^2) \omega^2\)
静平衡与动平衡
本节中我们将研究定轴转动刚体的平衡问题。 首先，我们设一任意形状刚体绕定轴转动，以定轴为$z$轴，在其上任取$O$点，建立与刚体固连（从而随刚体转动）的右手直角坐标系$Oxyz$。 设三轴的单位向量分别为$\hat i$、$\hat j$和$\hat k$
按照上述约定，任意刚体中的点的矢径可写为： \(\vec r = x \hat i + y \hat j + z \hat k\) 而刚体的角速度和角加速度则可写成数乘单位向量的形式： \(\vec \omega = \omega \hat k, \; \vec \alpha = \alpha \hat k\)
惯性积与惯量主轴
我们使用上述约定来研究刚体的运动。 对每个质点，其具有切向和法向加速度： \(\vec a_i = \vec a_i^t + \vec a_i^n\) 其中切向加速度为 \(\begin{aligned} \vec a_i^t &= \alpha \hat k \times \vec r_i = \alpha(x_i \hat j - y_i \hat i) \end{aligned}\) 而法向加速度为 \(\begin{aligned} \vec a_i^t &= \omega \hat k \times (\omega \hat k \times \vec r_i) = \omega^2 (\hat k \times (\hat k \times \vec r_i)) \\ &= \omega^2 ((\hat k \cdot \vec r_i) \hat k - (\hat k \cdot \hat k) \vec r_i) \\ &= - \omega^2 (x_i \hat i + y_i \hat j) \end{aligned}\) 从而其受惯性力为 \(\vec F_{i,\text{惯}} = - m_i \vec \alpha_i = - (\alpha y_i + \omega^2 x_i) \hat i + (\alpha x_i - \omega^2 y_i) \hat j\) 该惯性力对$O$点的矩为： \(\begin{aligned} \vec M_{O,i,\text{惯}} &= \vec r_i \times \vec F_{i,\text{惯}} = \det \begin{bmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ x_i & y_i & z_i \\ m_i (\alpha y_i + \omega^2 x_i) & m_i (-\alpha x_i + \omega^2 y_i) & 0 \end{bmatrix} \\ &= m_i [(\alpha x_i z_i - \omega^2 y_i z_i) \hat i + (\alpha y_i z_i + \omega^2 x_i z_i) \hat j - \alpha (x_i^2 + y_i^2) \hat k ] \end{aligned}\)
对所有质点的惯性力及其矩求和，利用质心的定义，可得： \(\begin{aligned} \vec F_\text{惯} &= m [(\alpha y_C + \omega^2 x_c) \hat i + m (\omega^2 y_c - \alpha x_c) \hat j] \\ \vec M_{O,\text{惯}} &= \sum_i m_i[(\alpha x_i z_i - \omega^2 y_i z_i) \hat i + (\alpha y_i z_i + \omega^2 x_i z_i) \hat j - \alpha (x_i^2 + y_i^2) \hat k] \end{aligned}\)
不难从上面的式子中发现一些模式：就力矩而言，其所有项都是二次齐次的。 更重要的是，我们已经知道，其中一项具有转动惯量的形式：$m_i (x_i^2 + y_i^2)$。 这提醒我们定义新的变量来简化理解。
对具有任意形状的刚体，在其上固连一坐标系$Oxyz$，刚体对轴$x,y$、$y,z$和$z,x$的惯性积（product of inertia）定义为： \(\left\{ \begin{aligned} J_{xy} = J_{yx} &= \sum_i m_i x_i y_i \\ J_{yz} = J_{zy} &= \sum_i m_i y_i z_i \\ J_{zx} = J_{xz} &= \sum_i m_i z_i x_i \end{aligned} \right.\)
从而我们可以将惯性力矩重写为： \(\vec M_{O, \text{惯}} = (J_{xz} \alpha - J_{yz} \omega^2) \hat i + (J_{yz} \alpha + J_{xz} \omega^2) \hat j - J_z \alpha \hat k\)
利用惯性积，我们可以定义惯性主轴：
若对于刚体上固连参考系$Oxyz$的某轴$z$，与其相关的两个惯性积$J_{xz}, J_{yz}$都为零，那么称轴$z$为$O$点的惯量主轴（principal axis of inertia）。 若该轴还通过质心$C$，那么称该轴为中心惯量主轴（central principal axis of inertia）。
特别地，如果刚体具有质量对称轴，那么对称轴是其上任意一点的惯量主轴（之一）。 考虑到质心一定在质量对称轴上，这意味着这一根对称轴也是中心惯量主轴。 另外，如果刚体具有质量对称面，则该面的任意法向量所在的轴线都是这根轴线与平面的交点的惯量主轴（之一）。
附加动反力
设刚体被两个轴承固定在$z$轴上，绕该轴定轴转动，其中一个轴承不能提供径向的反作用力。 这两个轴承的约束力记为： \(F_{Ax}, F_{Ay}, F_{Bx}, F_{By}, F_{Bz}\) 此外，还受到主动力： \(\vec F_1, \vec F_2, \dots, \vec F_n\) 将向量投影并应用达朗贝尔原理，记惯性力用下标$I$表示，可得： \(\left\{ \begin{aligned} \sum F_{i,x} + F_{Ax} + F_{Bx} + F_{Ix} &= 0 \\ \sum F_{i,y} + F_{Ay} + F_{By} + F_{Iy} &= 0 \\ \sum F_{i,z} + F_{Bz} + \cancel{F_{Iz}} &= 0 \\ \sum M_x(\vec F_i) - F_{Ay} l_{OA} + F_{By} l_{OB} + M_{IOx} &= 0 \\ \sum M_y(\vec F_i) + F_{Ax} l_{OA} - F_{Bx} l_{OB} + M_{IOy} &= 0 \\ \sum M_z(\vec F_i) + M_{IOz} &= 0 \end{aligned} \right.\) 注意此处的正负号与力的约定有关，是随意选取的。
这是个非常简单的线性方程组，我们求解一个约束力作为例子： \(F_{Ax} = -\frac{1}{l_{AB}}\left[ \sum M_y(\vec F_i) + (\sum F_{ix}) l_{OB} \right] - \frac{1}{l_{AB}}(M_{IOy} + F_{Ix} l_{OB})\)
不难发现，这个约束力由两部分组成：由主动力引起的反作用力和由惯性力引起的反作用力。 前者称为静反力，后者称为附加动反力，简称动反力。
只要存在主动力，静反力就是不可避免的。 然而，动反力只在刚体转动时才会出现，并且可能与角速度的平方成正比（参见前一节对惯性力的讨论），因此我们希望消除它。
动平衡
如果刚体的转轴通过质心，且除重力之外没有其他主动力作用（或者作用点在质心上），那么刚体可在任意一个姿态下保持平衡，这种刚体称为处于静平衡中。 如果刚体在转动时不会引起附加动反力，那么称刚体处于动平衡中。
如果刚体的转动不引起附加动反力，那么一定有： \(\begin{aligned} F_{Ix} = F_{Iy} &= 0 \\ M_{Ix} = M_{Iy} &= 0 \end{aligned} \implies \begin{aligned} x_C \omega^2 + y_c \alpha = y_c \omega^2 - x_c \alpha &= 0 \\ J_{xz} \alpha - J_{yz} \omega^2 = J_{yz} \alpha + J_{xz} \omega^2 &= 0 \end{aligned}\) 考虑到该等式对任意的角速度和角加速度成立，有： \(x_C = y_C = J_{xz} = J_{yz} = 0\) 这意味着质心在$z$轴上，从而在转轴上，且转轴是惯量主轴。 这就是说，转轴是中心惯量主轴。
能定轴转动的刚体处于动平衡的充分必要条件是转轴是其一条中心惯量主轴。
如果刚体只受重力一个主动力，那么显然动平衡的刚体一定是静平衡的。 通常研究的定轴转动刚体都符合这一条件。