卷纸实验的力学分析
最近在网上看到了一个关于卷纸的实验和一系列类似的问题，感觉是复习一下刚体动力学的好机会，遂撰此文以总结之。
这类问题大概具有以下形式：假设一筒卷纸或是绕有线的线轴平放在桌上，当用手向某一方向牵拉纸或线时，卷纸或线轴会向同方向还是反方向运动？ 脱离转轴的纸或线会变多还是变少？
我们首先考虑将该问题建模来定量进行研究。
如上图所示，假设一半径为$R$的圆柱平放在粗糙的水平表面上，设其底面圆心为$O$，与表面的交点为$C$。 若在距半径$OC$圆心角为$\phi$、距圆心$r$处的$A$点沿切线方向施加一力$F$，问该圆柱将如何运动？ 设圆柱的质量为$m$，绕圆心的转动惯量为$I_O$，且摩擦力足够大以使圆柱的运动为纯滚动。
我们首先考虑对圆柱做运动学分析。 纯滚动圆柱的动力学比较简单：在如图所示的参考系下，设质心的水平位移为$x$，总的转角为$\phi$（顺时针为正），那么由于纯滚动，有 \(x = R \phi \iff v = \dot x = R \omega \iff a = \ddot x = R \alpha.\) 因此质心相对定系的速度为$R\omega \vec e_x$，加速度为$R \alpha \vec e_x$，其中$\omega$和$\alpha$是圆周运动的加速度和角加速度，也就是刚体定轴转动的加速度和角加速度。 接下来以质心为原点建立随刚体平动的动系，则牵连运动为直线运动，相对运动为定轴转动，简单计算即可得到$C$点相对定系的速度和加速度： \(\begin{aligned} \vec v_C &= \underbrace{\vec v_O}_\text{牵连速度} + \underbrace{(- R \omega \vec e_x)}_\text{相对速度} \\ &= 0,\\ \vec a_C &= \underbrace{\vec a_O}_\text{牵连加速度} + \underbrace{(- R \alpha \vec e_x + R \omega^2 \vec e_y)}_\text{相对加速度} \\ &= R \alpha \vec e_x - R \alpha \vec e_x + R \omega^2 \vec e_y \\ &= R \omega^2 \vec e_y. \end{aligned}\) 这就得到了纯滚动的经典结论： 刚体发生纯滚动时，其与地面接触点为速度瞬心，且该点的水平加速度为零。 更进一步的分析指出刚体的加速度瞬心在$OC$为直径的圆上运动12。
现在来做动力学分析。 我们只考虑水平运动，根据质心运动定理，有 \(m a = F \cos \phi - f.\) 根据对质心的动量矩定理，有 \(- I \alpha = F r - f R,\) 注意$\alpha$是顺时针的角加速度。 代入$R \alpha = a$并移项，得到 \(\frac{I a}{R^2} = - F \frac{r}{R} + f.\) 两式相加消去$f$，得到 \((m + \frac{I}{R^2}) a = F (\cos \phi - \frac{r}{R}),\) 从而解得 \(a = \frac{F}{m + I/R^2} \left( \cos\phi - \frac{r}{R} \right).\)
此外，还可以直接对$C$点应用动量矩定理。 此处要注意，$C$点是动点，因为在动力学分析中我们已经知道，$C$的牵连运动具有向上的加速度。 但是此处$C$瞬时静止，因此并不影响直接使用对静点的动量矩定理。 实际上，由于$C$的加速度过质心，因此即使刚体的角速度非零也可以直接使用对静点的动量矩定理。
首先计算转动惯量，利用平行轴定理，有 \(I_C = I + m R^2.\)
计算$F$对$C$的动量矩可能比较复杂，需要解$\triangle OAC$这个三角形。 我们有 \(M_F = \vec F \times \vec{CA} = F(r - R \cos \phi)\) 其他所有力（重力、支持力和摩擦力）对该点的矩均为零，因此有 \(- (I + m R^2) \alpha = F(r - R \cos \phi).\) 代入求解，得到 \(a = \frac{F}{m + I/R^2} \left( \cos\phi - \frac{r}{R} \right).\)
分析以上两个解，我们可以知道，滚筒向哪一边运动取决于式子 \(\cos \phi - \frac{r}{R}\) 的正负：当该式为正（如$\phi$较小）时，滚筒向右加速；反之（如$r > R$时，此时该式一定为负），滚筒向左加速。
上一个结论实际上可直接由运动学分析导出。
由于$C$点为速度瞬心，根据刚体上速度分布的特征，可知$A$点处的速度一定垂直于$AC$连线，如上图所示。 而由于我们在拉拽$A$处的绳索，因此该处速度的切向分量一定沿着施加力的方向。 通过这两条关系，即可确定该点速度在$AC$连线的哪一侧。 若$\phi$角度较小（如上图$A$点），则速度$\vec v_A$向右，系统顺时针转动； 当角度较大时（如上图$A’$点），则速度$\vec v_A$向左，系统逆时针转动。 注意速度的切向分量先变小再变大，两侧的分界点为切向分量为零时，此时$\angle{OAC}$是一个直角，解三角形即可得到 \(\cos \phi = \frac{r}{R}.\)
运动学分析还有一个有趣的结论： 容易注意到在题设环境下，$\vec v_A$的切向分量，即纸或绳子的速度，一定小于质心的速度，因此松开的纸或绳子的长度变短还是变长一定和质心向受力方向运动与否相同。 若纸筒向右运动，那么纸的长度就会变短。
最后讨论一下特殊情况，即$r = R, \phi = 0$的情况。 此时，根据以上分析，卷纸筒应当保持静止不动，这是因为我们假设系统所受的摩擦力总是足够大导致的。 若系统所受的摩擦力有限，那么根据质心运动定理，系统将向拉拽方向加速；同时根据对质心的动量矩定理，系统将逆时针旋转。 此时应用对$C$点的动量矩定理会比较困难，因为所有力的力矩均为零，且系统不在是纯滚动，运动学比较复杂。