应力张量

本文将主要介绍结构力学中的应力张量。

应力Permalink

本章中我们将给出应力的定义。

柯西应力Permalink

柯西假设Permalink

首先考虑作用在某一系统上的外力，按照作用的方式不同，其可分为表面力和体积力，分别写为： $\begin{aligned} F_{r} & = \int_{S} d F_{S} + \int_{V} d F_{V} \\ = \int_{S} T d S + \int_{V} ρ f d V \end{aligned}$

而对于系统的内力，我们使用柯西假设进行研究：

对于介质 $D$ 内部一点 $P$ ，使用一个面 $S$ 将介质经过 $P$ 点分为两个部分，该点处的内力只与 $P$ 点的位置和该点处表面的法向有关，即： $T = T (P, \vec{n})$ 同时，如果反转该点处法向量的方向，那么受力的方向也反转： $T (P, \vec{n}) = - T (P, - \vec{n})$

这意味着任意选取该表面，只要法向保持不变，介质内部的某一点处的内力一定相等。

柯西四面体Permalink

接下来我们希望给出任何一个面上内力的数学表述。我们考虑构造一个如下图所示的四面体，同时考虑体积力和面积力，假设处于平衡状态( $a = 0$ )，应用牛顿定律：

\begin{aligned} 0 & = \int_{V} ρ f d V + \int_{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A} T d S \end{aligned}

考虑无穷小从四面体，此时可将该四面体视为一个点 $P$ ，从而体积力忽略，而面积力变为： $- A_{1} T (P, {\vec{e}}_{1}) - A_{2} T (P, {\vec{e}}_{2}) - A_{3} T (P, {\vec{e}}_{3}) + A T (P, \vec{n}) = 0$ 这意味着任何一个平面的表面力可由三个正交的（更一般地，线性独立的）法向量上的应力求得。

更进一步地，注意到： $A_{1} = A (\vec{n} \cdot {\vec{e}}_{1}), A_{2} = A (\vec{n} \cdot {\vec{e}}_{2}), A_{3} = A (\vec{n} \cdot {\vec{e}}_{3})$ 代入可得： $T (P, \vec{n}) = n_{1} T (P, {\vec{e}}_{1}) + n_{2} T (P, {\vec{e}}_{2}) + n_{3} T (P, {\vec{e}}_{3})$ 我们可将该式子写成矩阵的形式，从而得到柯西应力张量。

柯西应力张量是描述了某点处任意方向的应力的二阶张量，在某一坐标系 $R$ 下，可写为： $σ (P) = (\begin{matrix} T (P, {\vec{e}}_{1}) & T (P, {\vec{e}}_{2}) & T (P, {\vec{e}}_{3}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix})$ 从而任意方向的应力可有矩阵乘法求得： $T (P, \vec{n}) = σ (P) \cdot \vec{n} = σ (P) \cdot (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$

同理，对该四面体应用力矩平衡（角动量定理），可以发现柯西应力矩阵是一个对称矩阵。

任一点处的柯西应力矩阵是一个对称矩阵。

法向应力与切向应力Permalink

通过点乘可以求出任意一点的法向应力，而通过将应力与法向应力相减即可得到切向应力。

σ_{n} = \vec{n} \cdot T (P, \vec{n}), σ_{t} = σ - σ_{n} = σ - \vec{n} \cdot T (P, \vec{n})

如果选择的平面法向恰好与表示柯西应力所用的基底重合，那么不难发现法向应力正好位于柯西应力的对角线上。从而切向应力就在上三角或下三角的位置。

(\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}) 法向 切向

切向的应力也称为剪力，有时用 $τ$ 表示。如果将切应力用剪力表示，则可直接将法向应力称为应力。

旋转与变基Permalink

处于数学上的严谨性，我们必须说明，应力在其本质上是一个线性变换，而非一个矩阵，因此其蕴涵了对坐标系变换的不变性。在物理和工程上，我们通常处理的只是其矩阵形式。

和任何线性变换一样，在不同的基底，即坐标系下，同一个应力的矩阵表示并不相同。物理和工程上选择的基底总是正交标准基底，因此任何选择的过渡矩阵都是正交矩阵。利用这一点，我们可以给出应力旋转的关系。

$σ^{'} = Q^{⊤} \cdot σ \cdot Q$ 其中 $Q = (\begin{matrix} e_{1}^{'} & e_{2}^{'} & e_{3}^{'} \end{matrix})$ 是从原基底到新基底的过渡矩阵。

局部平衡方程Permalink

考虑一个无穷小的、与坐标轴对齐的长方体，其长、宽和高分别为微元 $d x_{1}, d x_{2}, d x_{3}$ 。从而，其面积和体积微元为： $d S_{1} = d x_{2} d x_{3}, d V = d x_{1} d x_{2} d x_{3}$

其体积力容易得到，考虑其面积力： $\begin{aligned} F_{S} & = T d S \\ = T (x_{1} + d x_{1}, {\vec{e}}_{1}) d S_{1} + T (x_{2} + d x_{2}, {\vec{e}}_{2}) d S_{2} + T (x_{3} + d x_{3}, {\vec{e}}_{3}) d S_{3} \\ + T (x_{1}, - {\vec{e}}_{1}) d S_{1} + T (x_{2}, - {\vec{e}}_{2}) d S_{2} + T (x_{3}, - {\vec{e}}_{3}) d S_{3} \\ = \sum_{i = 1}^{3} (T (x_{i} + d x_{i}, {\vec{e}}_{i}) - T (x_{i}, {\vec{e}}_{i})) d S_{i} \end{aligned}$ 然后应用牛顿第二定律，可得： $\sum_{i = 1}^{3} (T (x_{i} + d x_{i}, {\vec{e}}_{i}) - T (x_{i}, {\vec{e}}_{i})) d S_{i} + ρ (f - a) d V = 0$ 两边同时除以 $d V$ ，从而得到： $\sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial T (P, {\vec{e}}_{i})}{\partial x_{i}} + ρ (f - a) = 0$ 注意到第一个偏微分正是散度，从而得到局部平衡方程。

对任何介质中的应力张量，其和体积力的关系为： $\nabla \cdot σ + ρ (f - a) = 0$ 该方程称为局部平衡方程。

该偏微分方程具有边界条件： $T (P, \vec{n}) = T_{外}$

主应力Permalink

应力是一个对称矩阵，因此必然可对角化，我们据此定义其主应力。

应力张量必然具有三个正交的特征向量。当三个特征向量的长度均为一时，其对应的特征值按从大到小的顺序分别称为第一、第二和第三主应力。这三个特征向量所在的方向称为主应力方向。

在主应力方向确定的坐标系下，应力可写为： $σ_{P} = (\begin{matrix} σ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3} \end{matrix})$

对该三阶矩阵，其特征多项式可以利用相似不变量求得： $det (σ - σ_{n} I) = - σ_{n}^{3} + I_{1} σ_{n}^{2} - I_{2} σ_{n} + I_{3} = 0$ 其中 $I_{1} = Tr (σ), I_{2} = σ_{1} σ_{2} + σ_{2} σ_{3} + σ_{3} σ_{1}, I_{3} = det (σ)$

应力分解Permalink

利用矩阵的迹，我们可以将应力分解为一个数量矩阵和另一个矩阵之和。

$σ = \frac{1}{3} Tr (σ) I + (σ - \frac{1}{3} Tr (σ) I) = σ_{s} + σ_{d}$ 其中 $σ_{s}$ 称为体积应力张量（volumetric stress tensor）、 $σ_{d}$ 称为偏应力张量（deviatoric stress tensor），也记作 $s$ 。

第一个部分可以视为施加在各个方向上均匀的压力，就像在水中受到的水压一样。

莫尔圆Permalink

在主应力方向坐标系下，考虑一个应力，将其分解为应力和剪力： $T^{2} (P, \vec{n}) = (σ \cdot \vec{n})^{⊤} \cdot (σ \cdot \vec{n})$ 展开，注意到在主应力方向的坐标系下，应力矩阵是一个数量矩阵，从而可得： $σ^{2} + τ^{2} = σ_{1}^{2} n_{1}^{2} + σ_{2}^{2} n_{2}^{2} + σ_{3}^{2} n_{3}^{2}$ 其中 $σ_{i}$ 是主应力。

将应力向法向量上投影，得到： $σ = σ_{1} n_{1}^{2} + σ_{2} n_{2}^{2} + σ_{3} n_{3}^{2}$

又注意到 $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = 1$ 从而可以求解出 $n_{i}^{2}$ ：

$\begin{array}{r} n_{1}^{2} = \frac{τ^{2} + (σ - σ_{2}) (σ - σ_{3})}{(σ_{1} - σ_{2}) (σ_{1} - σ_{3})} \geq 0 \\ n_{2}^{2} = \frac{τ^{2} + (σ - σ_{3}) (σ - σ_{1})}{(σ_{2} - σ_{3}) (σ_{2} - σ_{1})} \geq 0 \\ n_{3}^{2} = \frac{τ^{2} + (σ - σ_{1}) (σ - σ_{2})}{(σ_{3} - σ_{1}) (σ_{3} - σ_{2})} \geq 0 \end{array}$ 注意到 $σ_{1} > σ_{2} > σ_{3}$ 移项并重新排序，可得： $\begin{array}{r} τ^{2} + [σ - \frac{1}{2} (σ_{2} + σ_{3})]^{2} \geq (\frac{σ_{2} - σ_{3}}{2})^{2} \\ τ^{2} + [σ - \frac{1}{2} (σ_{1} + σ_{2})]^{2} \geq (\frac{σ_{1} - σ_{2}}{2})^{2} \\ τ^{2} + [σ - \frac{1}{2} (σ_{1} + σ_{3})]^{2} \leq (\frac{σ_{1} - σ_{3}}{2})^{2} \end{array}$

如果以 $σ$ 为横轴、 $τ$ 为纵轴，则这三个不等式给出了三个圆形区域，如下图所示：

这个图形称为莫尔圆（Mohr’s circle）。如果知道主应力，则可利用莫尔圆判定应力和剪力的取值范围。

二维莫尔圆Permalink

在二维条件下，柯西应力在应力主轴坐标系下可写为： $σ = diag (σ_{1}, σ_{2})$

假设某一平面的法向量与第一主应力方向的夹角为 $θ$ ，则该平面上的法向应力和切向应力可写为： $σ_{n} = \frac{σ_{1} + σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} \cos (- 2 θ), τ = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} \sin (- 2 θ)$

这也给出了一个圆的参数方程。

如果已知主应力和应力主轴，则可绘制莫尔圆，利用其求解任意方向的应力和剪力。相对地，可以通过试验测定任意两个方向的应力和剪力，然后绘制莫尔圆，从而得出主应力。

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