半线性型与厄米型

本章中我们将把之前研究的许多内容推广到复数域上。

半线性映射

复数空间与实数空间虽然相似，但是具有一些不同，其中最大的不同就是映射的线性问题。

半线性映射的定义

设$E,F$为两复向量空间，称$f: E \to F$是半线性的（Sesquilinear），若： \(\begin{aligned} \forall x,y \in E, \quad& f(x+y) = f(x) + f(y) \\ \forall x \in E, \lambda \in \mathbb C, \quad & f(\lambda x) = \textcolor{red}{\overline{\lambda}} f(x) \end{aligned}\)

不难验证$f$的像仍然为一个子空间，而子空间的原像仍是子空间。 同理，半线性映射的核空间和秩也可按与线性映射相同的方式定义。

设$\varphi: E \times E \to \mathbb C$，若$\varphi(\cdot, y)$是半线性的，且$\varphi(x, \cdot)$是线性的，则称$\varphi$是半双线性的，即： \(\begin{aligned} \varphi(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y) &= \overline{\lambda_1} \varphi(x_1, y) + \overline{\lambda_2} \varphi(x_2, y) \\ \varphi(x, \mu_1 y_1 + \mu_2 y_2) &= \mu_1 \varphi(x,y_1) + \mu_2 \varphi(x, y_2) \end{aligned}\)

使用柯里化技巧，我们记： \(\gamma_\varphi(x) = \varphi(x, \cdot) = (y \mapsto \varphi(x, y))\) 那么，$\gamma_\varphi(x)$是线性的，且$\gamma_\varphi(x) \in E^*$。 从而，$\gamma_\varphi$是半线性的，因为： \(\begin{aligned} \forall y \in E, \; \forall (\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb C^2, \; &\forall (x_1, x_2) \in E^2 \\ \gamma_\varphi (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) (y) &= \varphi(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y)\\ &= \overline{\lambda_1} \varphi(x_1, y) + \overline{\lambda_2} \varphi(x_2, y) \\ &= (\overline{\lambda_1} \gamma_\varphi(x_1) + \overline{\lambda_2} \gamma_\varphi(x_2))(y) \end{aligned}\) 同理，$\delta_\varphi(y)$是线性的。

厄米函数与厄米二次型

若半双线性函数$\varphi$是共轭对称的，则称其为厄米函数（Hermitian function）： \(\forall x, y \in E, \; \varphi(x,y) = \overline{\varphi(y,x)}\) 与厄米函数对应的二次型称为厄米二次型（Hermitian quadratic form）： \(x \mapsto \phi(x) = \varphi(x,x) \in \mathbb R\) 厄米二次型对应的函数称为其极化形式。

厄米函数的共轭对称性保证了厄米二次型的值一定是一个实数。

（极化恒等式） 设$\varphi$为一厄米函数，$\phi$为其对应的二次型，那么： \(\begin{multline} \forall x, y \in E, \\ \varphi(x,y) = \\ \frac{1}{4} [\phi(x+y) - \phi(x-y) + i\phi(x-iy) - i\phi(x+iy)] \end{multline}\)

首先我们有： \(\begin{aligned} \phi(x+y) &= \varphi(x+y, x+y) \\ &= \varphi(x,x) + \varphi(y,y) + \varphi(x,y) + \varphi(y,x) \\ &= \phi(x) + \phi(y) + 2 \Re \varphi(x,y) \end{aligned}\) 由线性，我们可得：$\varphi(x,-y) = -\varphi(x,y)$，且$\varphi(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|^2 \varphi(x,y)$ 从而在原式中将$y$替换为$-y$，可得： \(\phi(x-y) = \phi(x) + \phi(y) - 2 \Re \varphi(x,y)\) 从而我们有： \(\phi(x+y) - \phi(x-y) = 4 \Re \varphi(x,y)\) 另一方面，我们有：$\varphi(x,iy) = i \varphi(x,y)$ 从而$\Re \varphi(x,iy) = - \Im \varphi(x,y)$ 然后在原式中将$y$替换为$iy$，可得： \(\phi(x+iy) - \phi(x-iy) = - 4 \Im \varphi(x,y)\) 代入原式右侧即可得证。

设$\varphi$为以半双线性型，则其为一个厄米函数，当且仅当： \(\forall x, \; \varphi(x,x) \in \mathbb R\)

前推后是显然的，根据定义，$\varphi(x,x)$等于其共轭，因此是实数。 现在证明后推前。 将$\varphi(x+y,x+y) \in \mathbb R$展开，可得： \(\varphi(x+y) = \varphi(x,x) + \varphi(y,y) + \varphi(x,y) + \varphi(y,x) \in \mathbb{R}\) 从而 \(\varphi(x,y) + \varphi(y,x) \in \mathbb R\) 用$iy$替换$y$，可得： \(\varphi(x,iy) + \varphi(iy,x) = i (\varphi(x,y) - \varphi(y,x)) \in \mathbb R\) 从而： \(\begin{cases} \varphi(x,y) + \varphi(y,x) \in \mathbb R \\ \varphi(x,y) - \varphi(y,x) \in i \mathbb R \end{cases}\) 从而$\varphi(x,y) = \overline{\varphi(y,x)}$，从而其为厄米函数。

半双线性型的正定性

按照和实数双线性形相同的方式，我们也能定义半双线性型的正定性。

1） 一个半双线性型称为正的（或半正定的），若满足： \(\forall x, \varphi(x,x) \in \mathbb R_+\) 根据上一个命题，一个正的半双线性型一定是厄米函数。
2） 一个半双线性型称为确定的，若其满足： \(\forall x \neq 0, \; \varphi(x,x) \neq 0\) 既是正的又是确定的半双线性型简称为正定的。 正定的半双线性型一定是一个厄米函数，称为厄米内积。
3） 一个半双线性型称为非退化的，若其满足： \(\forall y, \; \varphi(x,y) = 0 \implies x = 0\)

所有确定的厄米函数一定是非退化的； 反之所有非退化的正厄米函数一定是正定的。

前推后是显然的，使用定义即可。 现在考虑后推前。这里我们先不加证明地使用柯西-施瓦茨不等式： 设$\exists x, \; \varphi(x,x) = 0$ \(\forall y, \; \varphi(x,y) \le \sqrt{\varphi(x,x)} \sqrt{\varphi(y,y)} = 0\) 又因为该厄米函数是正的，从而其值等于零。 又因为其为非退化的，从而$x = 0$。 这就证明了其确定性。

半线性映射的矩阵

和双线性型一样，半双线性型的矩阵也具有特殊的性质。 而厄米函数和厄米二次型则和对称双线性型与二次型相似，其矩阵具有一定的对称性。

共轭转置矩阵

设$A \in \mathcal M_{n,p} (\mathbb C)$，则将其每一项元素取共轭产生的矩阵称为共轭矩阵，记为$\overline{A}$。 共轭矩阵的转置矩阵（或转置矩阵的共轭矩阵）称为该矩阵的共轭转置矩阵，也称厄米共轭矩阵，记为$A^*$。 厄米共轭矩阵等于自身的矩阵称为厄米矩阵。

实矩阵的共轭矩阵就是自己，从而其厄米共轭矩阵就是其转置矩阵。 厄米共轭矩阵可类比于实矩阵的转置矩阵，具有相当多类似的性质。

我们设大写字母表示一个矩阵，而小写字母表示复数。

• \[\overline{(\overline A)} = A, \; (A^*)^* = A\]
• \[\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}, \; (A+B)^* = A^* + B^*\]
• \[\overline{aA} = \overline{a} \overline{A}, \; (aA)^* = \overline{a} A^*\]
• \[\overline{A \cdot B} = \overline{A} \cdot \overline{B}, \; (AB)^* = B^* A^*\]
• \[(\overline{A})^{-1} = \overline{A^{-1}}, \; (A^*)^{-1} = (A^{-1})^*\]
• \[\det \overline A = \overline{\det A}, \; \det A^* = \overline{\det A}\]
• \[\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(\overline A) = \mathrm{rank}(A^*)\]

这些命题都容易证明。 唯一需要注意的就是最后一点。 注意到矩阵的秩等于其最高阶非零子式的阶数，而共轭和共轭转置不会使非零的行列式变为零，因此不会改变矩阵的秩。

厄米函数的矩阵

设$E$为一有限维的复向量空间，$\mathcal B = (e_1, \dots, e_n)$为一个基底。 $\varphi$为其上一厄米函数。

在任何一组基底下，厄米函数的矩阵定义为： \(A \in \mathcal M_n(\mathbb C), (a_{i,j}) = \varphi(e_i, e_j)\) 从而其矩阵是一个厄米矩阵，满足： \(A = A^*\) 且 \(\varphi(x,y) = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} \sum_{j=1}^n \varphi(e_i, e_j) y_j = X^* AY\)

（厄米函数的变基）设$\mathcal B$、$\mathcal B^\prime$为两个不同的基底，$A, A^\prime$为$\varphi$在其下的矩阵，那么： \(P_{\mathcal B \to \mathcal B^\prime}^* A P_{\mathcal B \to \mathcal B^\prime} = A^\prime\) 称满足这种关系的两个矩阵合同。

设$x,y \in E$，而$X,X^\prime, Y,Y^\prime$分别为其在两个基底下的列向量，那么： \(\varphi(x,y) = X^* A Y = {X^\prime}^* A^\prime Y^\prime\) 又有 \(X = P_{\mathcal B \to \mathcal B^\prime} X^\prime, \; Y = P_{\mathcal B \to \mathcal B^\prime} Y^\prime\) 代入即可得证。

和对称的双线性型不同，厄米函数不构成一个子空间，因为其对线性组合不封闭。

复空间的正交性

本节中我们假设$\varphi$为一个厄米函数，$\phi$为其对应的厄米二次型。 我们并不要求这个二次型是非负或正定的，因此即使其不是一个范数，我们仍可以定义其正交性。

设$A$为$E$的一个子集，$\varphi$为$E$的一个厄米函数，则与$A$正交的集合为： \(A^\perp = {y \in E | \forall x \in A, \; \varphi(x,y) = 0}\) 即： \(A^\perp = \bigcap_{x \in A} \ker \gamma_\varphi(x)\) 从而$A^\perp$是一个子空间，因此也称为$A$的正交子空间。

正交空间的性质

• \[A \subset B \implies B^\perp \subset A^\perp\]
• \[(\mathrm{Span}(A))^\perp = A^\perp\]
• \[A \subset (A^\perp)^\perp\]
• \((F+G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp, \; F^\perp + G^\perp \subset (F \cap G)^\perp\)，若$F,G$为两个子空间。

这些证明和实空间中的一模一样。 我们提供第四个命题的另一种证明： \(\begin{aligned} (F+G)^\perp &= (\mathrm{Span}(F \cap G))^\perp = (F \cap G)^\perp \\ &= \bigcap_{x \in F \cup G} \gamma_\varphi (x) \\ &= \left( \bigcap_{x \in F} \gamma_\varphi(x) \right) \cap \left( \bigcap_{x \in G} \gamma_\varphi(x) \right) \\ &= F^\perp \cap G^\perp \end{aligned}\)

这里需要注意的是，由于我们没有限定该半双线性型是确定的（从而不是非退化的），全空间的正交子空间可以不是${0}$。 这个子空间可以看作$\gamma_\varphi$的核空间，即$\gamma_\varphi(x)$为零函数的空间。 实际上，我们可以给出一个非退化的等价定义：

若一个厄米函数（或二次型）定义的全空间的正交子空间只有零向量，那么这个厄米函数（或二次型）是非退化的。

正交子空间的维数

若$E$为一有限维空间，$F$为其上的一个子空间，那么： \(\mathrm{dim} (F) + \mathrm{dim} (F^\perp) = \mathrm{dim}(E) + \mathrm{dim}(F \cap E^\perp)\)

设${e_1, \dots, e_k}$为$F \cap E^\perp$的一组基底，则其满足$\gamma_\varphi(e_i) = 0$，因为其在$E$的正交子空间中。 现在我们将其补全为$F$的一组基底： \({e_1, \dots, e_k, e_{k+1}, \dots, e_p}, p = \mathrm{dim}(F)\) 从而： \(x \in F^\perp \iff \forall i = k+1, \dots, p \; , \quad \varphi(e_i,x) = \gamma_\varphi(e_i) (x) = 0\) 接下来我们证明$\gamma_\varphi(e_i)$线性无关，从而上式产生$p-k$个无关的方程。 设 \(\sum_{i=k+1}^p \lambda_i \gamma_\varphi(e_i) = 0\) 验证所有系数均为零： \(\begin{aligned} & \sum_{i=k+1}^p \lambda_i \gamma_\varphi(e_i) = \gamma_\varphi (\sum_{i=k+1}^p \overline{\lambda_i} e_i) \\ \implies & \sum_{i=k+1}^p \overline{\lambda_i} e_i \in \ker \gamma_\varphi = E^\perp \end{aligned}\) 从而 \(\sum_{i=k+1}^p \overline{\lambda_i} e_i \in E^\perp \cap F\) 但是该空间仅仅由前$k$个基底生成，所以$\lambda_i = 0$。 这就验证了这些函数的线性无关性。 由于这些函数线性无关，$\gamma_\varphi(e_i) (x) = 0$就产生$p-k$个线性无关的方程，其解空间的维数即为$n-p+k$。 代入即可得： \(\mathrm{dim} (F) + \mathrm{dim} (F^\perp) = p+n-p+k = n+k = \mathrm{dim}(E) + \mathrm{dim}(F \cap E^\perp)\)

这一命题的几何解释即为，若$\varphi$不是非退化的，那么就存在一些向量和所有向量都正交，从而既在$F$之中，又在$F^\perp$之中。 这些向量就在子空间$F \cap E^\perp$之中，因此我们需要减去它们的维数。

若$\varphi$是非退化的，则： \(F^\perp + G^\perp = (F \cap G)^\perp\)

我们已经给出了一个包含关系，因此只需要验证其维数相等即可。 \(\begin{aligned} \mathrm{dim}(F^\perp+G^\perp) &= \mathrm{dim} (F^\perp) + \mathrm{dim} (G^\perp) - \mathrm{dim} (F^\perp \cap G^\perp) \\ &= \underbrace{n - \mathrm{dim} (F)}_{\mathrm{dim}(E^\perp) = 0} + n - \mathrm{dim} (G) - \mathrm{dim} (F+G)^\perp \\ &= n - \mathrm{dim} (F) - \mathrm{dim} (G) + \mathrm{dim} (F+G) \\ &= n - \mathrm{dim} (F) - \mathrm{dim} (G) + \mathrm{dim} (F) + \mathrm{dim} (G) - \mathrm{dim} (F \cap G) \\ &= n - \mathrm{dim} (F \cap G) = \mathrm{dim} (F \cap G)^\perp \end{aligned}\)

非迷向空间

若向量$x$对一个二次型$\phi$满足$\phi(x) = 0$，那么称其为迷向向量（Isotropic vector）。 若二次型的迷向向量仅有零向量，则称其为确定的（也称非迷向的）。

注意厄米二次型的确定性和厄米函数的确定性的定义不同，但是确定的厄米函数一定对应确定的厄米二次型，反之亦然。 和厄米函数一样，确定的厄米二次型一定是非退化的，但非退化的二次型不一定是确定的。

设$F$为$E$中一有限维子空间，以下三条命题等价：
1） $\varphi_{\vert F \times F}$是非退化的；
2） $F \cap F^\perp = { 0 }$；
3） $E = F \oplus F^\perp$。
此时$F^\perp$称为$F$的正交补空间，而存在正交补空间的子空间称为非迷向空间。

1）与2）的等价由定义显然。 3）推2）也是显然的。 我们仅证明2）推3），即仅需要证明$E = F + F^\perp$。 设$x \in E$，$\gamma_\varphi (x) \in E^*$，则$\gamma_\varphi(x)_{\vert F} \in F^*$。 另一方面，记$\varphi^\prime = \varphi_{\vert F \times F}$。 由于1）与2）等价，我们知道$\varphi^\prime$是非退化的，从而： \(\ker (\gamma_{\varphi^\prime}) = F \cap F^\perp = \{ 0 \}\) 从而$\gamma_{\varphi^\prime }$是一个单射。 又因为空间是有限维的，从而其是一个向$F^*$的满射。 因此存在$y \in F$，满足 \(\gamma_{\varphi^\prime}(y) = \gamma_\varphi(x)_{\vert F}\) 从而： \(\forall z \in F, \; \varphi(x,z) = \varphi(y,z) \implies \varphi(x-y,z) = 0\) 从而$x-y \in F^\perp$。 因此： \(\forall x \in E, \; x = \underbrace{(x - y)}_{\in F^\perp} + \underbrace{y}_{\in F}\)

根据这一命题，我们有：

设$E$为一有限维复空间，那么对任何厄米函数$\varphi$，都存在一组在该函数下正交的基底。

这一命题说明任意厄米矩阵$H$都可以合同对角化，即存在可逆矩阵$P$，满足： \(P^* H P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n), \; \lambda_i \in \mathbb R\)

我们使用归纳法证明该结论。 空间为一维时显然，现在设空间为$n$维。 首先，零变换的情况是平凡的，我们只考虑非零的变换，设： \(\exists a \in E, \text{满足} \phi(a) \neq 0\) 那么$a \mathbb C$是一个非迷向的子空间。 现在考虑其正交子空间： \(\text{设} \lambda a \in (a \mathbb C)^\perp = \{ a \}^\perp \implies \varphi(\lambda a, a) = \overline{\lambda} \varphi(a,a) = 0 \implies \lambda = 0\) 从而$(a \mathbb C)^\perp \cap (a \mathbb C) = 0$。 根据上述命题，我们知道这说明$E = (a \mathbb C)^\perp \oplus (a \mathbb C)$。 我们知道$(a \mathbb C)^\perp$的维数比全空间少，因此根据归纳假设，该空间中存在一个正交的基底，设为$\mathcal B$。 根据定义，$\{ a \} \cap \mathcal B$是这个空间的一个正交的基底。

根据厄米矩阵的对角化的形式，我们称其对角阵中的非零的实数个数为其秩。 这一定义也可拓展到厄米函数和厄米二次型上。

复希尔伯特空间

对正的厄米函数$\varphi$，有： \(\varphi \text{确定} \iff \varphi \text{非退化}\)

此外，若$\varphi$是确定的，那么它不会改变符号。

若复向量空间$E$装备有一正定的（从而是非退化的）厄米二次型$\phi$，则： \(\Vert \cdot \Vert : x \mapsto \sqrt{\phi(x)}\) 可作为其一个范数，$(E, \phi)$合称准希尔伯特空间。 若空间$E$是完备的，那么又可称为希尔伯特空间。 若空间是有限维的（从而一定是完备的），那么又可称为厄米空间。

在准希尔伯特空间中，由于其二次型正定且非退化，任何有限维子空间都是非迷向的，且存在正交补。

复准希尔伯特空间有许多与实内积空间相同的性质，此处仅列出而不再证明。

（柯西-施瓦茨不等式）设$\phi$为一非负厄米二次型，$\varphi$为其对应的厄米函数，那么： \(|\varphi(x,y)|^2 \le \phi(x) \phi(y)\)

（闵可夫斯基不等式）设$\phi$为一非负厄米二次型，则： \(\sqrt{\phi(x+y)} \le \sqrt{\phi(x)} + \sqrt{\phi(y)}\)

（勾股定理）若两向量正交，则： \((x, y) = 0 \implies \Vert x+y \Vert^2 = \Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2\) 然而，若两向量满足： \(\Vert x+y \Vert^2 = \Vert x \Vert^2 + \Vert y \Vert^2\) 则其内积的实部为零，但虚部不一定为零。

（正交投影）设$\mathcal B = \{ \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n \}$为有限维子空间$F$的一个正交标准基底，那么从$x$向$F$的正交投影可以写为： \(p_F(x) = \sum_{k = 1}^n (\varepsilon_k, x) \varepsilon_k = \sum_{k=1}^n \overline{(x, \varepsilon_k)} \varepsilon_k\)

厄米空间与伴随算子

接下来我们将研究厄米空间的性质。 这个空间中的许多性质在无穷维情形下也能得到推广，并且是量子力学的重要数学基础。

本章中我们设$E$为一厄米空间，$\varphi$为其对应的正定的厄米函数。

伴随算子的定义

设$u \in \mathcal L(E)$，则存在唯一的$u^* \in \mathcal L(E)$，使： \(\forall (x,y) \in E^2, \; \varphi(u(x), y) = \varphi(x, u^*(y))\) 称$u^*$为$u$的伴随算子。 在正交标准基底下，$u^*$的矩阵表示就是$u$的厄米共轭矩阵。

这一定义对无限维的情况也有效，但我们目前只关心有限维的情况。

设$x, y \in E$，$X,Y$为其对应的列向量，$A,B$分别为$u$和$u^*$的矩阵，$S$为厄米函数的矩阵。 则： \((AX)^* SY = X^* A^* SY = X^* BSY\) 注意到$S$可逆，从而$B = S^{-1} A^* S$，两者唯一确定。 在标准正交基底下，$S = I_n$，从而$B = A^*$

和厄米矩阵类似，伴随算子也具有一些运算上的性质：

1. \[(u+v)^* = u^* + v^*\]
2. \[(\lambda u)^* = \overline{\lambda} u^*\]
3. \[(u^*)^* = u\]
4. \[(u \circ v)^* = v^* \circ u^*\]
5. \[u \text{可逆} \iff u^* \text{可逆}, \; (u^*)^{-1} = (u^{-1})^*\]

这些命题可由简单的计算证明。

设$E$为一准希尔伯特空间，$u$为其上的线性映射，其具有一个不变子空间$F$和伴随算子$u^*$。 那么，$F^\perp$是$u^*$的不变子空间。

设$x \in F^\perp, y \in F$，则： \((y, u^*(x)) = (u(y), x)\) 由于$y \in F$且$F$是$u$的不变子空间，从而$u(y) \in F$，从而$(u(y),x) = 0$。 因此$F^\perp$是$u^*$的不变子空间。

我们在研究对称映射时提到过一个类似的命题。 这一命题在研究自伴算子（可类比于对称映射）时尤其有用。

酉变换

复数域上的酉变换可对应实数域上的正交变换，我们很快就能看到二者的相似性。

设$E$为一准希尔伯特空间，其上保持（厄米）范数不变的自同态线性变换称为酉变换（unitary transformation，也称幺正变换。无穷维情况下常称为酉算子或幺正算子）。

根据定义，酉变换属于自同态变换，因此一定是可逆的双射。

酉变换具有和欧几里得空间上的正交变换类似的性质：

1. 保范数的线性映射一定是保内积的单射；
2. 保内积的映射一定是保范数的线性单射；
3. 准希尔伯特空间中的酉变换的集合，记为$U(E)$，是$\mathit{GL}(E)$的子群。

1. 利用极化恒等式： \((u(x),u(y)) = \frac{1}{4} \left[\Vert u(x) + u(y)\Vert^2 - \Vert u(x) - u(y) \Vert^2 + i \Vert u(x) - i u(y) \Vert^2 - i \Vert u(x) + i u(y) \Vert^2 \right]\) 计算即可。
2. 通过计算不难验证： \(\Vert u(\lambda x + \mu y) - (\lambda u(x) + \mu u(y)) \Vert^2 = 0\) 然后有： \(\Vert u(x) \Vert^2 = (u(x), u(x)) = (x,x) = \Vert x \Vert^2\) 最后验证其单射性： \(x \in \ker u, \quad \Vert u(x) \Vert = 0 \iff x = 0\)
3. 不难验证群的三个公理。

若$E$是有限维空间，那么$u$单射等价于$u$双射。

设$E$为准希尔伯特空间，$u \in \mathcal L(E)$，那么$u$为酉变换，当且仅当其可逆且其逆变换等于其伴随算子。

首先考虑前推后，设$x,y \in E$，则$(u(x), u(y)) = (x,y)$。 现在记$u(y) = z$，从而$u^{-1}(z) = y$。 那么$(u(x),z) = (x,u^{-1}(z))$。 又因为$(u(x), z) = (x, u^*(z))$，且该等式对所有向量成立，因此$u^* = u^{-1}$。 接下来考虑后推前： \((u(x), u(y)) = (x, u^*(u(y))) = (x, u^{-1}(u(y))) = (x,y)\) 从而其保内积，从而保范数。

酉变换的矩阵

称一个矩阵$U$是酉矩阵（或幺正矩阵），若其满足以下三条等价的性质之一： \(U^* = U^{-1} \text{或} U^* U = \mathrm{Id} \text{或} U U^* = \mathrm{Id}\) 不难验证其是酉变换在标准正交基底下的矩阵。

对厄米空间，在一组标准正交基底下，可以将酉变换的复合写成矩阵乘法的形式，从而$u^* \circ u$可以写为$U^* U$，现在我们考虑结果矩阵中的每一个元素，可得： \(u^\prime_{r,s} = \sum_{k=1}^n \overline{u_{k,r}} u_{k,s}\) 又因为这个矩阵是单位阵，因此： \(\sum_{k=1}^n \overline{u_{k,r}} u_{k,s} = \left\{ \begin{aligned} 1 \quad & r=s \\ 0 \quad & r \neq s \end{aligned} \right.\) 注意到在正交标准基底下，这个求和正是列向量的内积，因此这说明这个矩阵是一组标准正交基底在另一组标准正交基底下的表示，从而我们有：

在准希尔伯特空间中，一个矩阵是酉矩阵，当且仅当其列向量（或行向量）构成一组标准正交基底。

幺正群

1. $n$维幺正矩阵的集合$U_n(\mathbb C)$构成$GL_n(\mathbb C)$的一个子群，称为幺正群。
2. 行列式为$1$的幺正矩阵也构成一个子群，记为$SU_n(\mathbb C)$，称为特殊幺正群。

我们有： \(1 = \det U^{-1} \det U = \overline{\det U} \det U = | \det U |\) 从而所有幺正矩阵的行列式的模长为一。

二维特殊幺正群具有特殊的物理意义，我们有： \(SU_2 = \{ \begin{pmatrix} \alpha & - \overline{\beta} \\ \beta & \overline{\alpha} \end{pmatrix}, \alpha, \beta \in \mathbb C, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \}\)

自伴算子

自伴算子对应实空间中的对称变换，在对角化上具有一些特殊的性质。

若一个线性映射的伴随算子就是自身，那么这个映射称为自伴算子，此时： \(\forall x, y \in E, \quad (u(x), y) = (x, u(y))\) 自伴算子也称为厄米算子。

量子力学中的可观测量都是自伴算子，通常位于线性函数（即波函数）构成的无限维希尔伯特空间空间上，但我们的研究依然汇聚于有限维空间上。

线性映射$u$是自伴的，当且仅当其在一组标准正交基底下的矩阵是厄米矩阵： \(A = A^*\)

线性映射$u$是自伴的，当且仅当其满足： \(\forall x \in E, \quad (x, u(x)) \in \mathbb R\)

这个性质无疑让我们联想起厄米二次型的性质。 实际上，我们此前已经证明过了，厄米函数的矩阵一定是自伴的（当时称为厄米矩阵）。

前推后是容易的，我们有： \((u(x), x) = \overline{(x, u(x))} = (x, u(x))\) 第一个等式利用了半双线性型的性质，第二个等式利用了自伴的性质。 现在考虑后推前。 设$(x, y) \in E^2$，$(x+y, u(x+y)) \in \mathbb R$。 从而： \((x+y, u(x)+u(y)) = (u(x)+u(y), x+y)\) 现在把它们展开： \(\begin{aligned} &(x, u(x)) + (x, u(y)) + (y, u(x)) + (y, u(y)) \\ = & (u(x), x) + (u(x), y) + (u(y), x) + (u(y), y) \end{aligned}\) 注意到$(x, u(x)) = (u(x), x)$，对$y$同理，这是因为一个实数的共轭等于自己，现在我们有： \((x,u(y)) + (y,u(x)) = (u(x), y) + (u(y), x)\) 移项可得： \((x, u(y)) - (u(y), x) = (u(x), y) - (y, u(x))\) 利用交换两项等于共轭的性质： \(\Im (x, u(y)) = \Im(u(x), y)\) 现在已经证明两者虚部相等，用$iy$替代$y$即可得实部相等，从而： \((x, u(y)) = (u(x), y)\)，证毕。

自伴矩阵的对角化

对厄米空间中的自伴矩阵，其所有特征值均为实数，且特征值的子空间两两正交，且可相似对角化。

设$\lambda, \mu$为自伴矩阵$H$的任意两个特征值，$x, y$为两非零向量，是两个特征值对应的特征向量。 由于矩阵是复数阵，因此至少存在一个特征值。 现在，有： \(\overline \lambda (x, y) = (\lambda x, y) = (u(x), y) = (x, u(y)) = \mu(x,y)\) 从而： \((\overline \lambda - \mu) (x,y) = 0\) 现在，取$x = y$，可得： \((\overline \lambda - \lambda)(x,x) = 0 \implies \overline \lambda = \lambda\) 从而$\lambda$是实数。 现在再考虑$x,y$来自两个特征子空间的情况，有： \((\lambda - \mu)(x, y) = 0\) 从而$(x, y) = 0$，子空间两两正交。 我们现在只需要证明子空间的和是全空间，即可证明其可对角化。 设$F$为所有特征子空间的直和，那么$F$是$u$的一个不变子空间，$F^\perp$是$u^*$的不变子空间，从而也是$u$的不变子空间。 设$F^\perp$的维数至少为1。 现在将$u$限制在$F^\perp$上，记为$v$，则$v$也是自伴算子。 因此其存在实特征值，即： \(\exists x \in F^\perp, \quad v(x) = \lambda x\) 从而其也是$u$的特征值。 然而这与$x \in F^\perp$矛盾，因此$\dim F^\perp = 0$，其只含有零向量，从而$F = E$。

从而，若$u$为自伴算子，则存在由其特征向量构成的标准正交基底。 若$H$为厄米矩阵，则存在幺正矩阵$U$满足： \(U^* H U = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n), \; \lambda_i \in \mathbb R\)

设$E$为一有限维复空间，而$\varphi_0$、$\varphi$为两厄米半双线性型，其中$\varphi_0$是正定的。 则存在一组基底$\mathcal B$，使其对$\varphi_0$是标准正交的，而对$\varphi$是正交的。

$\varphi_0$是标准正交的，从而能够构成$E$的一个内积。 现在我们直接记$\varphi_0(x,y) = (x,y)$。 设$\gamma, \gamma_\varphi$分别为两个半双线性型对应的从$E$到$E^*$的半线性映射，即： \(\gamma(x) = \varphi_0(x,\cdot), \; \gamma_\varphi(x) = \varphi(x, \cdot)\) 已知$\varphi_0$是正定的，从而是非退化的，从而$\gamma$是双射。 现在定义$u: E \to E$，满足： \(\forall (x,y) \in E^2, \; (u(x),y) = \varphi_0(u(x), y) = \varphi(x,y)\) 这意味着： \(\begin{multline} \gamma(u(x))(y) = \gamma_\varphi(x)(y) \\ \iff \gamma(u(x)) = \gamma_\varphi(x) \iff \gamma \circ u = \gamma_\varphi \\ \iff u = \gamma^{-1} \circ \gamma_\varphi \end{multline}\) 由于$\gamma$和$\gamma_\varphi$均为共轭线性的，因此$u$是线性的。 不难观察到$u$是自伴的： \((u(x), y) = \varphi(x,y) = \overline{\varphi(y,x)} = \overline{(u(y),x)} = (x, u(y))\) 从而存在一组正交标准基底使其可以被对角化： \(\mathcal B = \{e_1, \cdots, e_n \}, \quad u(e_i) = \lambda_i e_i, \lambda_i \in \mathbb R\) 现在记 \(x_i = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i, \; y_i = \sum_{i=1}^n \eta_i e_i\) 从而 \(\varphi(x,y) = (u(x),y) = \left(\sum_{i=1}^n \xi_i e_i, \sum_{i=1}^n \eta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \overline{\xi_i} \eta_i\) 从而在这组基底对于$\varphi$也是正交的。 特别地，在这组基底下，$\varphi_0$的矩阵为单位阵，而$\varphi$的矩阵为对角阵，对角线上的值即为$u$的特征值。

正规算子

设$E$为一厄米空间，称其上的线性变换$u$为正规算子，若其与其伴随算子可交换： \(u \circ u^* = u^* \circ u\)

酉算子和厄米算子都是正规算子的特殊情况。

厄米空间上的一个线性算子是正规算子，当且仅当其在一组正交标准基底下的矩阵是正规矩阵，即： \(u \circ u^* = u^* \circ u \iff MM^* = M^*M\)

记$u$为厄米空间$E$上的一个正规算子，则其特征值$\lambda$对应的特征子空间$F = \ker(u - \lambda \mathrm{Id})$的正交补空间$F^\perp$是$u$的不变子空间。

设$x \in F$，则 \(u(u^*(x)) = u^*(u(x)) = u^*(\lambda x) = \lambda u^*(x)\) 从而$u^*(x)$也是$\lambda$对应的一个特征向量，因此$u^*(x) \in F$。 从而$F$也是$u^*$的不变子空间。（实际上因为$u$和$u^*$交换，从而其一个的特征子空间一定是另一个的不变子空间。） 从而$F^\perp$是$u^{**} = u$的不变子空间。

厄米空间中的正规算子的特征向量可以组成一组标准正交基底，从而其可被对角化。

利用归纳法。首先，对一维空间，显然。 对$n$维空间，注意到复空间中矩阵一定有至少一个特征值，设其为$\lambda$。 则其特征子空间$F$至少有一维，其正交补空间$F^\perp$至多有$n-1$维。 利用归纳假设，将其限制在不变子空间$F^\perp$上，映射$u_{F^\perp}$的维数小于$n$，因此满足题设，设其特征值构成的正交标准基底为$\{ e_2, \dots, e_n \}$。 对特征子空间$F$，任取一个特征向量，归一化为正交向量$e_1$。 不难验证基底： \(\mathcal B = \{ e_1, e_2, \dots, e_n \}\) 即为所求。

$u$为正规算子，当且仅当其能在一组正交标准基底下对角化。

前推后和前述定理完全一致，只考虑后推前。 设在一组标准正交基底下，$u$可对角化为： \(D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix}, \lambda_i \in \mathbb R\) 那么显然$\overline{D}$是$u^*$的矩阵，且两者都是对角矩阵，因此可交换，因此$u$是正规的。