几何光学中的成像

本文中，我们在几何光学的范畴下讨论如何形成可见性良好的像。

中心光学系统

我们称一些由被折射界面和反射界面分离的透明介质为光学系统，记为$(\mathcal S)$。

• 如果一个光学系统中只有折射界面，那么这个系统就是仅折射的（dioptric）；
• 如果一个光学系统中只有反射界面，那么这个系统就是仅反射的（catoptric）；
• 如果一个光学系统既有折射界面，又有反射界面，那么这个系统就是折反射的（catadioptric）。

如果一个光学系统存在一个中心对称轴，那么这个光学系统就是中心光学系统，而这个对称轴就是光轴。

所有沿光轴入射的光线经过中心光学系统后一定沿光轴射出。

物空间与像空间

首先，我们定义入射面和出射面：

• 入射面指光学系统的入射光第一次发生折射或反射的界面；
• 出射面指光学系统的光最后一次发生折射或反射的界面。

根据入射面和出射面，我们定义物空间和像空间：

• 实物空间指包含光源，到入射面截至的整个空间。
• 实像空间指从出射面开始，包含出射光的整个空间。
• 虚物空间和虚像空间：实物空间和实像空间的补空间。

按照一般的约定，光从左侧入射，从右侧射出，那么入射面左边就是实物空间，而出射面右边就是实像空间。 虚物空间和虚像空间的交集正好就是光学系统本身。

物与像

如果光线从一个点出发，然后进入光学系统，或者从多个点出发，但是延长线汇聚在一点，那么这个点就称为点物。 前者称为实物，后者称为虚物。

相对地，如果从光学系统发出的光线汇聚到同一点，或者其延长线汇聚到同一点，那么这个点就称为点像。 前者称为实像，后者称为虚像。

不论是物还是像，如果它是由光线相交形成的，那么就是实的； 如果它是由光线的延长线相交形成的，那么就是虚的。

点物或点像的集合也可以构成物或者像。

单心性与无畸变性

单心性和无畸变性是成像良好的重要条件。

单心性

如果一个光学系统满足所有出发点（或入射光延长线的交点）的光线汇聚于同一点（或出射光延长线交于同一点），那么就称这个光学系统是严格单心的（Rigorously stigmatic）。 这两个点称为共轭的，记为$A \leftrightarrow A^\prime$。

一个光学系统是严格单心的，当且仅当对任意一个物点和对应的像点，其光程与选择的路径无关。 任何的折射都会导致物点和像点之间的光程与选择路径有关，因此严格单心的系统有且仅有平面镜一个，因此我们更加关心不那么严格的单心性。

我们知道，任何感受光的装置或器官都有最小的分辨率，如果对任何一个物点，其像点分布的半径小于这个最小的分辨率，那么就不能感受到这两个点不是重合的。 如果一个光学系统对特定的观察者满足这种条件，那么就称其为近似单心的。

不具有单心性导致的像差称为散光或像散。

无畸变性

如果对于同一垂直于光轴的面（称为垂轴面）上的物点，经过光学系统后其像点也在同一平面上，那么称这个系统为严格无畸变的。

如果一个系统是严格无畸变的，那么它必须是严格单心的，因此严格无畸变的光学系统也是非常少见的。 为此，如果足够靠近光轴的物点能够满足以上要求，那么我们就称其为近似无畸变的。

中心光学系统的近轴条件

对一个中心光学系统，如果所有用于成像的光线满足：（1）足够靠近光轴（近轴）、（2）与光轴的角度很小（小角），那么称这个光学系统满足近轴条件。 满足近轴条件的中心光学系统可视为满足近似单心和近似无畸变的性质。

如果不满足近轴条件，那么光学系统所成的像会有像差。 为了满足近轴条件，我们假设所有物位于一个垂轴面上，距离光轴非常近且长度很小。

在之后，如果不加特别声明，我们总是假设近轴条件成立，也就是说光学系统满足单心和无畸变的性质。

中心光学系统的位置表示

中心光学系统的光轴上由几个值得注意的点，比如某个透镜的中心，这样的点称为基点（Cardinal point）。 如果固定一个基点$\Omega$，那么所有光轴上的点$A$都可以用其在光轴上的正交投影$H$相关的一个（有向的）代数值$\overline{\Omega H}$表示，正如数轴上的数一样。 通常我们规定入射光的方向为正方向，这通常表示从左到右为正方向。

对于在无穷远处的物或像，不能用距离某点的长度来表示其位置。 我们注意到，一切无穷远处的物或像对应的光线一定是一束平行光，否则其一定存在交点，从而不在无穷远处。 因此，我们可以用平行光与光轴的角度来表征其位置。 为了表示角度，也需要一个正方向，通常我们规定逆时针为正方向。

中心光学系统的大小表示

对于一个非点状的长物体，我们还需要表示其长度。 在此前的介绍中，我们假设所有物位于一个垂轴平面上，因此我们只需要使用高度即可表示其大小。 为此，我们也需要规定一个方向为正方向，通常选择从下往上为正方向。 如果一个像或者物是倒立的，那么这个长度为负。

为了表示无穷远处物或像的大小，我们同样使用角度。 对于中心光学系统，由于对称性，入射的平行光和出射的平行光一定分布在光轴的两边。 我们将这两束平行光之间的夹角称为张角，这个角度只有大小而没有正负。 这个角度的一半恰好就是某一束平行光与光轴的角度。

焦点与焦平面

中心光学系统的物方焦点或物方主焦点是使得对应的像点处于无穷处（即出射光平行）的物点。 相对地，对应物点位于无穷处的像点称为这个中心光学系统的像方焦点或像方主焦点。 物方焦点所在的垂轴面称为物方焦平面，像方焦点所在的垂轴面称为像方焦平面。

和其他物点、像点一样，焦点也有虚实之分。

所有经过物方焦点（或延长线经过物方虚焦点）的光线经过光学系统后的出射光平行于光轴。 所有经过像方焦点（或延长线经过像方虚焦点）的光线对应的入射光必平行于光轴。

在近轴条件下，所有中心光学系统都有焦点，但是不一定在有穷远处。 焦点在有穷远处的光学系统称为有焦系统；焦点在无穷远的光学系统称为无焦系统或远焦系统。 对无焦系统，只有平行光（无穷远处的物）才能产生平行光（无穷远处的像）。

一个系统的焦点要么都位于有穷远处，要么都位于无穷远处。 假设物方焦点位于无穷远处，那么入射的平行光被变成出射的平行光； 如果此时像方焦点位于有穷远处，那么说明入射的平行光会交于像方焦点，而这是矛盾的。

副焦点

焦平面上其他不在光轴上的点称为副焦点。 物方副焦点对应的像也在无穷远处，即出射光平行，但是并不平行于光轴，而是与光轴成一个非零夹角。 同理，像方副焦点对应的物也在无穷远处，但入射光也与光轴成一个夹角。

这是因为这个系统是无畸变的，同一平面上的物或像对应的像或物一定在同一平面上，因此一定在无穷处。

共轭关系

我们通常用大写字母来表示物（如$A$），带撇的大写字母来表示像（如$A^\prime$）。 任何物与像所在的垂轴面之间一定满足某些代数关系，这种关系记为$\mathcal R(A, A^\prime) = 0$，称为共轭关系。

对于有穷远处的物或像，通常使用距基点的代数长度来表示其位置，而对无穷远处的物或像，通常使用与光轴的代数角度。

放大率

对于远焦系统，物或像常以平行光的形式出现，为了衡量这种光学系统的对物或像的放大程度，我们用角度之比来表示其放大率。

光学系统对无穷远处物$A$和像$A^\prime$的角放大率定义为： \(G_{A, A^\prime} = \frac{\alpha_A}{\alpha_{A^\prime}}\) 其中$\alpha$表示平行光和光轴的夹角。

注意这里的夹角是带有符号的，因此必须明确对符号正负的约定。

望远镜就是这种光学系统的例子。

如果物和像都在有穷远处，那么我们通常使用像的长度之比来表示其放大率。

光学系统对有穷远处的物$AB$和像$A^\prime B^\prime$的垂轴放大率定义为： \(\gamma = \frac{\overline{AB}}{\overline{A^\prime B^\prime}}\)

这里的长度也是带符号的，因此如果放大率为负，说明光学系统会成倒立的像。