一维达朗贝尔方程
波的概念
波是由标量或矢量场描述的一个物理量，其场同时依赖于时间与空间。 这个物理量与时间和空间相关联的方程称为这个波的波动方程。
本文中我们总是研究一维空间下的情形，此时这个波可以由空间坐标$x$和时间坐标$t$描述。 这个波在坐标$(x,t)$处的物理量与平衡状态下$x$位置的物理量之间的差构成一个矢量$\vec{u}(x,t)$，这个矢量称为此波传播的信号。
根据这个矢量与横坐标轴之间的关系，可以把波分为两个种类：
- 若$\vec u (x,t) = u(x,t) \vec{e_X}$，即波的信号方向（通常表示介质的位移方向）水平于波的传播方向，那么这个波称为纵波；
- 若$\vec u (x,t) \cdot \vec{e_X} = 0$，即波的信号方向垂直于波的传播方向，那么这个波称为横波。
一维达朗贝尔方程的例子
同轴线缆
我们以奥利维·赫维赛德建立的同轴线缆模型为例研究信号在其中的传播。 这个模型研究一段无穷小长度的线缆$\mathrm d x$，其含有四个参数： 电感$L$、电容$C$、电阻$R$和电导$G$。
出于简单考虑，我们设$R = G = 0$，然后使用基尔霍夫定律： \(\left\{ \begin{aligned} u(x,t) &= u(x + \mathrm d x, t) + L \mathrm d x \frac{\partial i}{\partial t} &\text{(KCL)} \\ i(x,t) &= i(x + \mathrm d x, t) + C \mathrm d x \frac{\partial u}{\partial t} &\text{(KVL)} \end{aligned} \right.\) 简单的代入计算即可得到： \(\left\{ \begin{aligned} L \frac{\partial i}{\partial t} (x,t) &= - \frac{\partial u}{\partial x} (x,t) &\text{(1)} \\ C \frac{\partial u}{\partial t} (x,t) &= - \frac{\partial i}{\partial x} (x,t) &\text{(2)} \end{aligned} \right.\) 然后对两式分别求偏导，可得： \(\left\{ \begin{aligned} L \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} (x,t) &= - \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} (x,t) \\ C \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} (x,t) &= - \frac{\partial^2 i}{\partial^2 x} (x,t) \\ \end{aligned} \right. \implies LC \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} (x,t) - \frac{\partial^2 i}{\partial x^2} (x,t) = 0\) 最后令$c = \frac{1}{\sqrt{LC}}$，即可得到达朗贝尔方程： \(\frac{\partial^2 i}{\partial t^2} (x,t) - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 i}{\partial x^2} (x,t) = 0\) 不难发现$c$的量纲恰好等于速度。
之前我们对(1)式求对$t$的偏导，对(2)式求对$x$的偏导，交换这两个求导的顺序即可得到电势的达朗贝尔方程。
能量分析
根据电容和电感的性质，有： \(\begin{aligned} - \frac{\partial u}{\partial x} &= L \frac{\partial i}{\partial t} \\ - \frac{\partial i}{\partial x} &= \frac{\partial q}{\partial t} = C \frac{\partial u}{\partial t} \end{aligned}\)
我们知道单位长度的功率可以写为$p(x,t) = u(x,t) \cdot i(x,t)$，对其求偏导可得： \(\begin{aligned} & \frac{\partial p}{\partial x} \\ &= \frac{\partial u}{\partial x} i + u \frac{\partial i}{\partial x} \\ &= - \frac{\partial u}{\partial x} C \frac{\partial u}{\partial t} - L \frac{\partial i}{\partial t} \frac{\partial i}{\partial x} \\ &= - C u \frac{\partial u}{\partial t} - L i \frac{\partial i}{\partial t} \\ &= - \frac{\partial \left( \frac{1}{2} C u^2 \right)}{\partial t} - \frac{\partial \left( \frac{1}{2} L i^2 \right)}{\partial t} \\ &= - \frac{\partial e}{\partial t} \end{aligned}\)
最后我们得出： \(\frac{\partial p(x,t)}{\partial x} + \frac{\partial e(x,t)}{\partial t} = 0\)
从离散模型到连续模型
我们使用一个离散的模型描述所有一维的波，即弹簧质点模型。
假设无穷个弹簧首尾相连，两个弹簧之间有一个质量为$m$的质点，第$n$个质点在$t$时间的位置为$x_n(t)$，和其平衡位置的位移为$\xi_n(t)$。 弹簧的劲度系数为$k$，原长（即平衡时的长度）为$a$，从而$\xi_n(t) = na + \xi_n(t)$。
根据牛顿第二定律，有： \(\begin{aligned} m \ddot{x}_n &= - k (x_n - x_{n+1}) - k(x_n - x_{n+1}) \\ m \ddot{\xi}_n &= -2k \xi_n + k \xi_{n+1} + k \xi_{n-1} \end{aligned}\)
我们设$\xi(x, t)$为一个二阶可导的函数，这个函数根据$\xi(na, t) = \xi_n(t)$插值而得到。 从而有： \(\begin{aligned} \xi_n(t) &= \xi(na,t) \\ \xi_{n-1}(t) &= \xi((n-1)a,t) = \xi(na,t) - a \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \\ \xi_{n+1}(t) &= \xi((n-1)a,t) = \xi(na,t) + a \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \end{aligned}\)
现在我们尝试化简上述偏微分方程： \(\begin{aligned} m \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} &= - k \left[ 2\xi - \left(\xi - a \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \right) - \left(\xi+ a \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right) \right] \\ m \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} &= k a^2 \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \\ 0 &= \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} - \frac{k a^2}{m} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \end{aligned}\) 这就又得到了达朗贝尔方程。
一维达朗贝尔方程的解集
一维达朗贝尔方程即具有以下形式的偏微分方程： \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0\)
这个方程具有以下性质：
- 线性：若$u_1, u_2$为两个解，且$\lambda_1, \lambda_2$为两个数，那么$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2$也是一个解；
- 可逆性：若$u(x,t)$是一个解，那么$u(x,-t)$也是一个解。
行波解
关于一维达朗贝尔方程，有以下定理：
一维达朗贝尔方程： \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0\) 的解可以写成以下形式： \(u(x,t) = u_\rightarrow (x - ct) + u_\leftarrow (x + ct)\) 其中，$u_\rightarrow (x - ct)$是一个以$c$的速度向右传播的波，$u_\leftarrow (x + ct)$是一个向左传播的波，通称为行波。
两个行波的叠加通常不是行波。
我们设$r = x - ct, s = x + ct$，从而$x = \frac{r+s}{2}, s = \frac{s-r}{2}$。 然后计算所有微分算符： \(\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial s}{\partial x} \frac{\partial}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial}{\partial s} \\ \frac{\partial}{\partial t} &= \frac{\partial r}{\partial t} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial s}{\partial t} \frac{\partial}{\partial s} = c \frac{\partial}{\partial r} + c \frac{\partial}{\partial s} \\ -2c \frac{\partial}{\partial s} &= -2c \left[ \frac{\partial t}{\partial s} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial}{\partial x} \right] = - c \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial t} \\ 2c \frac{\partial}{\partial r} &= 2c \left[ \frac{\partial t}{\partial r} \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial}{\partial x} \right] = c \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial t} \\ \end{aligned}\) 从而： \(-4c^2 \frac{\partial^2}{\partial s \partial r} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}\) 我们设$u(x,t)$为达朗贝尔方程的一个解，对其进行换元得到$v(r,s)$，从而： \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -4c^2 \frac{\partial^2 v}{\partial s \partial r} = 0\) 现在我们知道$\frac{\partial^2 v}{\partial s \partial r} = 0$，从而$v$含有一个与$s$无关的分量，同理其还含有一个与$r$无关的分量。 因此我们可以把它写成$v(r,s) = f(r) + g(s)$，因此有： \(u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)\)
单色行波
能够表示为以下形式的行波称为谐波，也称单色波： \(u(x,t) = u_m \cos (\omega t - k x - \varphi)\) 其中$u_m$称为振幅。 角频率$\omega$（或周期$T$、或频率$f$）表示其时域上的周期性； 波矢$\vec k$的范数表示其空间上的周期性。
对于一个谐波，平面$\omega t - k x = C$（$C$为常数）表示了一个等相位平面，这个平面可写成$x = \frac{\omega}{k}t - \frac{C}{k}$的形式，从而可以看作以$\frac{\omega}{k}$的速度向前移动。 这个速表示了相位的速度，因此称为相速度，记为$v_\varphi$。
联系$\omega$和$k$的关系称为色散关系，对于一维达朗贝尔方程的谐波解，其色散关系为$\nu_\varphi = \frac{\omega}{k} = c$。 若介质中波的相速度与$\omega$无关，那么称这个介质为非色散的。
谐波的复数表示
根据以下定理，我们可以构造复数来非常简单地表示一个谐波。
若$u(x,t) = u_m \cos (\omega t - kx - \varphi)$为任何线性且系数与时间无关的波方程的解，那么 \(\underline{u}(x,t) = u_m \exp \left[ j (\omega t - kx - \varphi) \right]\) 也是这个方程的解。
我们构造 \(\begin{aligned} u(x, t - \frac{\pi}{2\omega}) &= u_m \cos \left( \omega (t - \frac{\pi}{2 \omega}) - kx - \varphi \right) \\ &= u_m \cos \left( \omega t - kx - \varphi - \frac{\pi}{2} \right) \\ &= u_m \sin \left( \omega t - kx - \varphi \right) \end{aligned}\) 根据波动方程的性质，这个函数也是原方程的解，因为其只是进行了平移。 原式$u_m \exp \left[ j (\omega t - kx - \varphi) \right]$可以使用欧拉公式展开，从而表示为这两个函数的线性组合，因此也是这个方程的解。
使用复数，我们可以非常方便地表示求导和积分运算，就像使用拉普拉斯变换研究线性系统一样。
然而，值得注意的是，这个复数表示对乘法通常不适用，因此进行这种非线性的变换时必须回到三角函数表示。
如果我们需要计算同周期的两个谐波的积的平均值，那么还是可以借助复数表示的。
设$u(x,t)$和$v(x,t)$表示两个同向的同周期谐波，那么有： \(\left< u(x,t) \cdot v(x,t) \right>_T = \frac{1}{2} \Re [\underline{u}(x,t) \cdot \underline{v}^*(x,t)]\) 其中$\left< u(x,t) \right>_T$表示$T$时间内的平均值，即$\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} u(x,t) \mathrm d t$，$v^*$表示复数的共轭。
这个命题可用简单的计算证明，此前的电磁场计算玻印廷矢量时也用到了这个定理。
通过使用傅里叶变换，我们可以把任何（平方可积的）行波转换为谐波的线性组合，又因为达朗贝尔方程的所有解都可以转化为行波，因此谐波具有相当的重要性。 例如，行波$g(t-\frac{x}{t})$可以由傅里叶变换变为： \(g(t-\frac{x}{t}) = \int_0^\infty 2 \left| \hat{g}(f) \right| \cos \left( 2 \pi f (t - \frac{x}{c}) + \arg (\hat{g}(f)) \right) \mathrm d f\) 其中$\hat{g}$表示傅里叶系数。 不难发现被积函数就是一个谐波。
驻波解
除了两个行波的组合之外，达朗贝尔方程还有一种特殊的解，即驻波解。
若波函数$u(\vec r, t)$可以写为一个关于$\vec r$的函数$F(\vec r)$和一个关于$t$的函数$G(t)$之积，那么称这个波为一个驻波。
在驻波中，位置和时间相互独立地影响这个波，变量不具有$x - ct$的形式，因此这个波实际上不会前进，也不会传播能量。 值得注意的是，两个反向传播的频率和振幅相同的行波的叠加就是一个驻波： \(\begin{aligned} u(x,t) &= u_m \cos (\omega t - k x - \varphi) + u_m \cos(\omega t + k x - \psi) \\ &= 2 u_m \cos (\omega t - \frac{\varphi + \psi}{2}) \cos (kx + \frac{\varphi - \psi}{2}) \end{aligned}\)
一维达朗贝尔方程的驻波解具有以下形式： \(u(x,t) = C \cos(\omega t - \varphi) \cos(\frac{\omega}{c}x - \psi)\) 其中$C, \varphi, \psi$是由偏微分方程的初始条件决定的常数。 在非色散介质中，我们假设$k = \frac{\omega}{c}$
我们设$X(x), T(t)$为两个函数，用分离变量法求解达朗贝尔方程，设$u(x,t) = X(x) \cdot T(t)$。 \(\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= 0 \\ X T^{\prime \prime} &= c^2 X^{\prime \prime} T \\ \frac{T^{\prime \prime}}{T} &= c^2 \frac{X^{\prime\prime}}{X} \end{aligned}\) 因为等式两边的函数互相独立且恒等，因此两边都一定等于常数，设该常数为$\alpha$，从而有： \(\left\{ \begin{aligned} X^{\prime\prime} &= a X \\ T^{\prime\prime} &= c^2 a T \end{aligned} \right.\) 接下来进行分类讨论，设$a \ge 0$，从而$a = k^2$，那么有： \(\left\{ \begin{aligned} X^{\prime\prime} &= k^2 X \\ T^{\prime\prime} &= c^2 k^2 T \end{aligned} \right.\) 解得$X(x) = A e^{kx} + B e^{-kx}$。 第一项显然违反能量守恒，而第二项属于过渡态而非稳定态，因此整个解都不值得关心。 现在我们设$a < 0$，从而$a = - k^2$，有： \(\left\{ \begin{aligned} X^{\prime\prime} &= - k^2 X \\ T^{\prime\prime} &= - c^2 k^2 T = - \omega^2 T \end{aligned} \right.\) 解得： \(\left\{ \begin{aligned} X(x) &= A \cos(kx + \phi) \\ T(t) &= B \cos(\omega x + \psi) \end{aligned} \right.\) 从而$u(x,t) = AB \cos(kx + \phi) \cos(\omega x + \psi)$。
下面是一幅驻波的示意图：
不难发现，驻波的极值点和零点总是处于相同的位置，这两个点分别称为“波腹”和“波节”，图中波节用红点标识了出来。
驻波解和行波解在数学上是完全等价的，任何一个行波解都可以转化成一个驻波解： \(\begin{aligned} u(x,t) &= u_m \cos(\omega t + kx - \varphi) \\ &= u_m \cos(\omega t - \varphi) \cos(kx) - u_m \sin(\omega t - \varphi) \sin(kx) \end{aligned}\) 这两个解可以用来解决完全相同的物理问题，而驻波解的优势在于其可以非常方便的由边界条件求出，这可以从下面的例子中得到印证。
同轴导线的特征阻抗
特征阻抗的定义
同轴导线的特征阻抗定义为： \(Z_c = \sqrt{\frac{l}{c}}\) 其中$l$为单位长度导线的电感，$c$为电容。
设导线中的电势由前向和后向的两个行波组成，那么电势行波和电流行波满足以下关系： \(\begin{aligned} u_\rightarrow(x - ct) &= Z_c i_\rightarrow(x - ct) \\ u_\leftarrow(x - ct) &= -Z_c i_\leftarrow(x - ct) \end{aligned}\) 从而电势和电流的波可以写成： \(\begin{aligned} u(x,t) &= u_\rightarrow(x-ct) + u_\leftarrow(x+ct) \\ i(x,t) &= \frac{1}{Z_c} \left( u_\rightarrow(x-ct) \textcolor{red}{-} u_\leftarrow(x+ct) \right) \end{aligned}\)
简单计算即可证明这个命题。
波的反射
我们把一段长度为$L$的同轴导线的前端接到信号发生器上，然后把后端短接并接地，就会在前端观察到反射的波形。 这个现象可以由达朗贝尔方程的边界条件解释。
根据上文的描述，达朗贝尔方程在边界处具有以下条件： \(\forall t ,\quad u_\rightarrow(L - ct) + u_\leftarrow(L + ct) = 0\) 只要$u_\rightarrow(L - ct) \neq 0$，那么另一个行波就不可能等于零，因此一定存在反射波。 现在我们设$t^\prime = t + \frac{x - L}{c}$，可得： \(u_\rightarrow(L - c(t + \frac{x-L}{c})) + u_\leftarrow(L + c(t + \frac{x+L}{c})) = 0\) 从而有： \(u_\rightarrow(x + ct) = - u_\leftarrow(2L - x - ct)\) 这说明了前行波与反射波之间的关系。
尾端接有电阻的反射
现在我们不再将同轴导线的末端短接，而是在上面接上一个电阻$R$。
现在，向前的电势和电流满足： \(u_\rightarrow(L-ct) = R i_\rightarrow(L-ct)\) 如果$R \neq Z_c$，那么这两个方程是矛盾的，因此单独一个向前的行波不可能是解，从而一定存在反射的行波。
定义反射系数为被反射的物理量与原物理量之比。 电压的反射系数为： \(r_v = \frac{u_\rightarrow(L,t)}{u_\leftarrow(L,t)}\) 而电流的反射系数为： \(r_i = \frac{i_\rightarrow(L,t)}{i_\leftarrow(L,t)}\)
电压与电流的反射系数满足： \(r_v = \frac{R - Z_c}{R + Z_c} = -r_i\)
联立： \(\left\{ \begin{aligned} i(x,t) &= i_\rightarrow(x,t) + i_\leftarrow(x,t) \\ i(x,t) &= \frac{1}{Z_c} (u_\rightarrow(x,t) - u_\leftarrow(x,t)) \\ i(x,t) &= \frac{1}{R} (u_\rightarrow(x,t) + u_\leftarrow(x,t)) \end{aligned} \right.\) 即可。
当$R = Z_c$时，不存在反射，这种情况称为阻抗匹配。