常见的光学仪器

光学仪器指能使物成像的多个光学系统的组合。 本章中我们将研究以薄透镜组成的光学仪器。

人眼

所有光学仪器中，最重要的就是人眼，若没有眼睛，所有其他光学仪器都是没有意义的。

现实中的人眼由瞳孔、虹膜、晶状体和视网膜等等部分构成。 瞳孔可视为一个可调大小的光阑，虹膜和晶状体共同构成了一个可调焦距的凸透镜，而视网膜则可看作成像使用的光屏。 我们将使用光阑、凸透镜和光屏的组合来对人眼进行建模。

人眼的成像

当且仅当光被晶状体偏折之后所成的像正好在视网膜上时，人才能看到清晰的像。 为此，我们将研究人眼清晰成像的条件。

当物处在无穷远处（即产生平行光）时，正常的人眼的晶状体不需要调整焦距即可使像成在视网膜上。 此时我们成眼睛处在静息状态：眼内的肌肉不需要使晶状体变形。

当物处在有穷远处时，眼内的肌肉必须收缩以使晶状体的曲率增大。 此时，晶状体的屈光度上升而焦距下降，从而使物体成像在视网膜上。

物体越靠近裸眼，肌肉就会越发收缩，而晶状体的焦距继续下降，直到一个极限位置。 我们称物体能够清晰成像的最近距离为明视距离，也称视近点（punctum proximum，near point）。 相对地，物体能够清晰成像的最远距离称为视远点（punctum remotum，far point）。

近点与远点之间的距离称为人眼的景深。

正常人眼的近点位于距人眼约25厘米的位置，而远点位于无穷远处，景深为无穷大。

物体的大小与角度

单个的人眼并不能分辨距离，因此也不能分辨绝对的大小。 相对地，人眼只能分辨相对的大小，这种大小以角度的形式被人眼感知。 为此，当我们研究物体的成像时，我们总是研究其角度而非长度。

物体在人眼中所成的张角和人眼的位置是有关的，为此，我们定义最大张角：

在高斯条件下，物体$AB$的最大张角$\alpha_m$定义为： \(\alpha_m = \frac{AB}{d_m} = \tan \alpha_m\) 其中$d_m$即为明视距离。这相当于人眼位于物体垂直平分线上的明视距离位置时所成的张角。

人眼对物体$AB$的放大力定义为： \(P = \left| \frac{\alpha}{AB} \right|\) 高斯条件下，其最大放大力为： \(P_m = \left| \frac{\alpha_m}{AB} \right| = \frac{1}{d_m}\) 放大力的单位为距离的倒数，即屈光度。

分辨力极限

当两个光源离人眼足够远或距离足够近时，人眼就不能再分辨出两个不同的光源了。

设人眼位于两个光源的垂直平分线上，距离为明视距离，此时人眼能分辨的两个光源的最短距离为$L_R$，即为分辨率极限。 在高斯条件下，此时两个光源的张角记为角分辨率： \(P_{SA} = \alpha_{limit} = \frac{L_R}{d_m}\)

对人眼来讲，分辨率极限约为0.1毫米，而角分辨率约为一分。

人眼的缺陷

远视

先天性的远视通常是由视网膜过于靠近晶状体导致的。 若视网膜和晶状体之间的距离不足，那么即使观察无穷远处的物体，肌肉也必须收缩来使平行光成像在视网膜上。 对这种远视，其明视距离会增加，因此难以看清近处的物体。

近视

相对于远视，近视通常是由晶状体的屈光能力过强导致的。 此时，即使物体位于无穷远处，由于焦距靠近晶状体而远离视网膜，平行光仍不能成像在视网膜上。 对这种近视，其远点不在无穷远处，因此难以看清远处的物体。

老花

老花是由于肌肉对晶状体的调节能力下降导致的，此时人眼不能调节晶状体使近处的物体成像在视网膜上。 老花眼的近点距人眼的距离进一步提高，因此难以看清近处的物体。

不难发现，由于这三种缺陷的产生原理各不相同，因此近视和远视并不能”抵消”。

使用人眼进行观察的光学仪器

当使用眼睛进行观察时，我们实际上观察到的是光学仪器的像在眼睛中成的像，有： \(AB \leftrightarrow_{\text{仪器}} A^\prime B^\prime \leftrightarrow_{\text{人眼}} A^{\prime\prime} B^{\prime\prime}\) 因此，通过光学仪器观察物体$AB$等价于观察物体所成的像$A^\prime B^\prime$。

从而，通过光学仪器观察到的（有穷远处的）像的大小可由以下角度表示： \(\alpha^\prime = \frac{A^\prime B^\prime}{d}\) 其中$d$表示像与眼睛的距离。

仪器的放大力与放大率

我们把眼睛和光学仪器视为一个光学系统，从而定义其放大力：

光学仪器的放大力，或称光学倍率，定义为： \(P = \left| \frac{\alpha^\prime}{AB} \right|\) 放大率定义为： \(G = \left| \frac{\alpha^\prime}{\alpha_m} \right|\)

根据定义，$\alpha^\prime$与眼睛和像的距离有关，这对评估光学仪器的性能不利。

标准工况与商用放大率

当仪器所成的像位于无穷远处时，其工作状况称为标准工况。

当仪器所成的像位于无穷远处时，根据定义，像的大小，即$\alpha^\prime$，为其平行光和光轴的夹角。 此时，这个大小与距离$d$无关。 因此，标准工况下的仪器的放大力与放大力不再与眼睛所处的位置有关。 标准工况下的仪器放大率称为商用放大率。

仪器的景深

即使仪器所成的像不在无穷远处，经过晶状体的偏折，其依然可以在视网膜上形成清晰的像。 实际上，只要仪器所观察的物经过仪器所成的像位于近点和远点之间，那么这个物就能被清晰地观察到。

移动物体使其所成的像保持在这两个点之间，物体所能在的位置的集合称为仪器的横向视场，其大小即为仪器的景深。

天文望远镜

在这一节中，我们研究由两个凸透镜构成的开普勒式望远镜。

不难注意到，由于物镜的像方焦点与目镜的物方焦点重合，这两个凸透镜构成的光学系统是无焦的。

望远镜的光学特性

放大率

放大率：高斯条件下，望远镜的放大率为 \(G = \frac{\alpha^\prime}{\alpha} = - \frac{f_1^\prime}{f_2}\) 其中$f_1^\prime$和$f_2$分别为物镜和目镜的像方和物方焦距。

光瞳

入射光的量受限于物镜的大小。

物镜的轮廓经过目镜所成的像称为望远镜的出射光瞳。

在出射光瞳上，入射光的截面最小，因此光线最为密集。 这个位置最适合进行观察，因为对同样大小的光屏，在光瞳处能接收到的光最多。

开普勒望远镜的出射光瞳的大小$d$与物镜的大小$D$满足： \(d = \frac{D}{| G |}\)

出射光瞳的位置满足凸透镜成像的几个关系。