度量拓扑基础
本文介绍度量拓扑中的基本概念。
距离与范数
设$\mathbb K$为实数或复数数域，$E$为$\mathbb K$上的向量空间。
一个具有范数的向量空间称为赋范向量空间。
根据范数的定义不难导出一个不等式： \(\forall x, y \in E,\; | \Vert x \Vert - \Vert y \Vert | \le \Vert x - y \Vert\)
设$X$为一集合，其映射$\mathbf{d}: X \times X \to \mathbb R_+$称为距离，若其满足以下三个公理： \(\begin{array}{ll} \forall x, y \in X & \mathbf{d}(x,y) = \mathbf{d}(y,x) \\ \forall x,y,z \in X & \mathbf{d}(x,z) \le \mathbf{d}(x,y) + \mathbf{d}(y,z) \\ \forall x,y \in X & \mathbf{d}(x,y) = 0 \iff x = y \end{array}\) 具有距离的任意集合称为度量空间。
任何赋范向量空间都是度量空间，其距离可由： \(\mathbf{d}(x,y) = \Vert x - y \Vert\) 定义。 这个距离称为与范数相关的距离。
考虑到度量空间和赋范向量空间的一致性，接下来我们只研究赋范向量空间形式的度量空间，记一个度量空间为$X$。 度量空间$X$上的距离记为$\mathbf{d}_X$。
球与有界
设$a$为$X$上一点，$r$为正实数，我们定义三个概念： 1）设$r$非零，则$X$上以$a$中心，半径为$r$的开球表示： \(B(a,r) = \{ x \in X | \mathrm{d}(a,x) < r \}\) 2）$X$上以$a$中心，半径为$r$的闭球表示： \(\overline{B}(a,r) = \{ x \in X | \mathrm{d}(a,x) \le r \}\) 3）$X$上以$a$中心，半径为$r$的球面表示： \(B(a,r) = \{ x \in X | \mathrm{d}(a,x) = r \}\)
我们记一个度量空间的单位（开）球为$B(0,1)$。
赋范线性空间上的球$b$都是凸的，即： \(\forall a,b \in B, \; [a,b] = \{(1-t)a + tb, t \in [0,1]\} \subset B\)
若$X$的一个集合可以被包含在一个球中，那么称其为有界的； 相对地，若一个映射的像可以被包含在一个球中，那么称这个映射是有界的。
$X$的一个子集$A$是有界的，当且仅当映射$\mathbf{d}$关于$A \times A$的像是有界的。
有界集合的子集也是有界的； 有限个有界子集的并也是有界的。
李普希茨连续
设$X,Y$为二度量空间，对一个映射$f: X \to Y$，若存在一固定实数$C$： \(\forall x, x^\prime \in X, \; \Vert \mathbf{d}_Y (f(x), f(x^\prime)) \Vert \le C \Vert \mathbf{d}_X(x, x^\prime) \Vert\) 则称其为$C$-李普希茨连续的，简称李普希茨连续的。
设$A$为一非空集合，则一点到此集合的距离，定义为：
\(\mathbf{d}(x,A) = \inf_{a \in A} \mathbf{d}(x, a)\)
是1-李普希茨连续的。
这是因为，根据下确界的定义，对任意一对$x, x^\prime$，对任意$\varepsilon > 0$，存在一个$a$，使$\mathbf d(x,A) > \mathbf d(x, a) - \varepsilon$，从而：
\(\mathbf{d}(x^\prime, A) - \mathbf{d}(x, A) \le \mathbf{d}(x^\prime, a) - \mathbf{d}(x,a) + \varepsilon \le \mathbf{d}(x^\prime, x) + \varepsilon\)
从而取$\varepsilon \to 0$：
\(\mathbf{d}(x^\prime, A) - \mathbf{d}(x,A) \le \mathbf{d}(x,x^\prime)\)
然后交换$x, x^\prime$可得不等式的另外一侧。
空间的积
设$X_1, \dots, X_n$为度量空间，称其积的集合为$X_1 \times \cdots \times X_n$，对应的距离为： \(\mathbf{d}(x,y) = \max_{i = 1, \dots, n} \mathbf{d}_{X_i}(x_i, y_i)\)
设$X_1, \dots, X_n$为度量空间，则
1）对所有$i \in [\![ 1, n ]\!]$，典范满射$X_1 \times \cdots \times X_n \to X_i$是1-李普希茨的；
2）所有积空间中的球都是每一个空间中的球的积。
基本概念
开集合与闭集合
设$A$为$X$的一个子集，$a$为$X$上一点。
1）称$a$为$A$的内部点（或$A$为$a$的邻域），若在$A$中存在一个开球包含$a$；
2）称$a$为$A$的接触点（或称闭包点），若所有以$a$为中心的开球交于$A$。
内部点和接触点在某种意义上是对偶的： $a$是$A$的内部点，当且仅当$a$不是$X \backslash A$的接触点；反之亦然。
设$A$为$X$的一个子集，若其中所有点都是内部点，那么称其为开集合； 若$A$的所有接触点都包括在其中，那么称其为闭集合。
一个集合是开集合，当且仅当其补集合为闭集合。
所有开球都是开集合，所有闭球都是闭集合。
设$a$为$X$上一点：
1）$a$的任何邻域的超集都是$a$的邻域；
2）$a$的有限个邻域的交集仍是$a$的邻域。
1）空集与$X$既是开集合，又是闭集合；
2）有限个开集合的交仍是开集合，有限个闭集合的并仍是闭集合；
3）任意个开集合的并仍是开集合，任意个闭集合的交仍是闭集合。
内部与闭包
设$A$为$X$的一个子集：
1）称$A$的内部，记为$A^\circ$，表示所有$A$包含的开集合的并集，即$A$包含的最大（在包含这一偏序关系下）开集；
2）称$A$的闭包，记为$\overline{A}$，表示所有包含$A$的闭集合的交集，即包含$A$的最小闭集；
3）$A$的闭包与内部的差记为该集合的边界，边界上的点称为边界点。
一个集合的内部，即其所有内部点的集合； 一个集合的闭包，即其所有闭包点的集合。
若$X$中一个集合的闭包等于$X$，那么称这个集合是稠密的，或称其为处处稠密的。
聚点与孤立点
称$X$中的一点$x$为$A$的聚点，若所有以$x$为中心的开球与$A$的交集包含至少一个不同于$x$的点。 称$A$中的一点$a$为孤立点，若存在一个以$a$为中心的开球与$A$的交集仅包括$a$。
记$A$的聚点的集合为$A^\prime$，孤立点的集合为$I$，那么$I = \overline{A} \backslash A^\prime$。
这一命题说明，如果存在孤立点，那么就有不是聚点的闭包点，进而可能存在不是聚点的边界点。
连续性与极限
连续函数的定义
设$X, Y, Z$为度量空间，其上的距离记为$\mathbf{d}_X, \mathbf{d}_Y, \mathbf{d}_Z$。
设$f: X \to Y$为一映射，称其在$a$点是连续的，若：
\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \quad
\mathbf{d}_X(a,x) < \delta \implies \mathbf{d}_Y(f(a), f(x)) < \varepsilon\)
即对于任意一个足够接近于$a$的点，其映射后的点之间的距离也可以足够接近。
若$f$在一个集合中的所有点都连续，那么称其在这个集合上连续；若$f$在$X$上连续，那么我们直接称它是连续的。
显然，李普希茨连续的函数一定是连续的。
根据定义，函数在$X$的孤立点处总是连续的。
设$f: X \to Y$为一映射，$a$为$X$上一点，则$f$在$a$处连续，当且仅当$f(a)$的所有邻域的原像都是$a$的邻域。
从而以下三个命题等价：
1）映射$f$是连续的；
2）$Y$中所有开集的原像是$X$中的开集；
3）$Y$中所有闭集的原像是$X$中的闭集。
函数$f$在$X$上是一致连续的，若其满足： \(\begin{aligned} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x, x^\prime \in X \\ \mathbf{d}_X(x,x^\prime) < \delta \implies \mathbf{d}_Y(f(x), f(x^\prime)) < \epsilon \end{aligned}\)
注意到在一致连续的定义中，$x$的选择在$\varepsilon$的选择之后，因此一致连续比连续更“强”。
连续函数的性质
设$f: X \to Y$，$g: Y \to Z$，若$f$在$a \in X$处连续且$g$在$f(a) \in Y$中连续，那么$g \circ f$在$a$处连续。 同理，若$f,g$都是连续的，那么$g \circ f$是连续的。
设$Y$为$Y_1, \dots, Y_n$的积空间，$f: X \to Y$在某一点是连续的，当且仅当这个映射的每一个分量$f_i: X \to Y_i$在该点处连续。
设$E$为一赋范向量空间，那么其上的连续映射是关于线性运算封闭的：两个在$a$点处连续的映射的线性组合仍然在$a$点处连续。 从而，若记从$X$到$E$的连续映射的集合为$\mathcal{C}(X;E)$，则集合实际上是$E^X$的子空间。
$\mathbb K^n$空间上的任何多项式映射在$\Vert \Vert_\infty$范数下都是连续的。 实际上，由于有限维空间下所有范数都是等价的，这一连续性与范数的选择无关。
极限
设$a$为$X$中一非孤立点，$f: X \backslash {a} \to Y$在$a$处有极限，若存在一个$b \in Y$使： \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \backslash \{a\} \quad \mathrm{d}_X(a,x) < \delta \Rightarrow \mathrm{d}_Y(b, f(x)) < \varepsilon\) 点$b$若存在，则是唯一确定的，这个点称为其极限，记为： \(\lim_{x \to a} f(x) = b\)
联系极限与连续的定义，不难发现，一个函数$f$在$a$处有极限，当且仅当： \(\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) &\text{若} x \neq a \\ b &\text{否则} \end{cases}\) 在$a$处连续。 函数$\tilde{f}$称为$f$在$a$处的连续性延拓。
设$Y$为$Y_1, \dots, Y_n$的积空间，$f: X \to Y$在$a \in X$点存在，当且仅当其每个分量在该点处的极限存在。 若这个极限存在，那么其值为： \(\lim_{x \to a} f(x) = (\lim_{x \to a} f_1(x), \cdots, \lim_{x \to a} f_n(x))\)
在某一点处有极限的函数的线性组合在该点处仍然有极限，且线性组合的函数的极限等于极限的线性组合。
序列性质
称$X$中一个序列$(x_n)$是收敛的，若存在$a \in X$，满足： \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists n \in \mathbb{N} \; \forall p \in \mathbb{N} \quad p \ge n \implies \mathbf{d}(a, x_p) < \varepsilon\) 若序列不是收敛的，那么称其为发散的。 若$a$存在，那么它是唯一的，称为序列的极限。
设$(x_n)$为$X$中一个序列，$a$为$X$上一点，那么以下两个命题等价：
1）数列$(x_n)$收敛至$a$；
2）设$V$为$a$的任意一个领域，则序列中不在这个邻域中的点只有有限个。
因此，一个序列是收敛的，那么它一定是有界的。
序列和函数极限一样，关于积空间和线性组合也满足一样的性质，在此不再赘言。
拓扑概念的序列性质
（聚点的序列性质）设$a$为$X$上的一点，$A$为$a$的子集，则$a$是$A$的一个聚点，当且仅当$A$中存在一个序列收敛至$a$。
（闭集合的序列性质）$X$的一个子集$A$是一个闭集合，当且仅当，所有在$A$中的序列，若在$X$下有极限，那么其极限在$A$之中。
（极限存在性的序列性质）设$a$为$X$中一个非孤立点，$f: X\backslash \{a\} \to Y$为一映射，那么映射$f$在$a$点有极限，当且仅当对所有$X\backslash\{a\}$中的序列$(x_n)$，若其收敛至$a$，则$(f(x_n))$收敛。这一命题在实数域下称为海涅定理。
（连续的序列性质）设$f: X \to Y$，其在$a$点连续，当且仅当对所有$X$中的序列$(x_n)$，若其收敛至$a$，则$(f(x_n))$收敛。
（一致连续的序列性质）$f$为一致连续的，当且仅当对所有$X$中的序列$(x_n)$，$(x^\prime_n)$，有： \(\lim_{n \to \infty} \mathbf{d}(x_n, x^\prime_n) = 0 \implies \lim_{n \to \infty} \mathbf{d}\)
紧密空间
本章中，我们设$(U_i)$表示集合$U$的一个覆盖，若这列集合的并集包含$U$。
称一个度量空间$K$是紧密的，若其满足博雷尔-勒贝格性质，即其开覆盖必有有限子覆盖： 若存在一列开集$(U_i)_{i \in I}$满足$K \subset \bigcup_{i \in I} U_i$，那么必然存在$I$的一个有限子集$\{ i_1, \dots, i_n \}$使$K \subset U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}$
极限点
我们回忆一下关于子列的定义，这个定义将被反复使用。
设$(x_n)_{n \in \mathbb N}$为一序列，$\nu: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$为一严格单增的下标序列，那么$(x_{\nu(n)})_{n \in \mathbb{N}}$就是序列的一个子列。 如果令$n_k = \nu(k)$，那么这个子列也可记作$(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$。
设$(x_n)$为度量空间$X$中一子序列，若其存在一个子序列收敛至$a \in X$，则称$a$为$(x_n)$在$X$上的一个极限点。
若数列收敛至$a$，那么$a$是这个数列的唯一极限点。
一个点$a$是序列$(x_n)$的极限点，当且仅当： \(\forall \varepsilon > 0 \; \forall n \; \exists p \quad p \ge n \; \text{且} \; \mathbf{d}(a,x_p) < \varepsilon\) 即存在任意大的一项使其与$a$足够接近。
设$(x_n)$为$X$上的一个序列，对所有$n$，我们设$F_n = \overline{\{ x_n, x_{n+1}, \dots \}}$，那么$(F_n)$是$X$上的闭集合的一个单减的序列，且其交集就是$(x_n)$的极限点的集合。
紧密空间的序列性质
（紧密空间的序列性质）度量空间$K$是紧密的，当且仅当其上的序列至少含有一个极限点；或，空间是紧密的，当且仅当其上的序列必有收敛子列。 这一定理也叫波尔查诺-维尔斯特拉斯定理。
若空间满足波尔查诺-维尔斯特拉斯定理，那么称这个空间具有波尔查诺-维尔斯特拉斯性质。 显然，波尔查诺-维尔斯特拉斯性质和博雷尔-勒贝格性质是等价的。
更一般的讲，满足波尔查诺-维尔斯特拉斯性质（即所有序列都有收敛子列）的空间是序列紧的。 对度量空间而言，序列紧和紧密是等价的，但对更一般的空间则不然。
紧密空间的拓扑性质
所有紧密空间都是有界的闭集合； 反之，有界的闭集合不一定是紧密的。
紧密空间的所有闭子集是紧密的； 有限个紧密空间的积空间是紧密的；
紧密空间通过连续函数映成的像是紧密的。
紧密空间上的实值函数的像是有界的，且其界一定可以取得。
（海涅-康托尔定理）紧密空间上的连续函数一致连续。
实数空间的紧密性
实空间上的有界闭集都是紧密的。
有界实数数列必有收敛子列。
实空间上的线段必有有限开覆盖。
更一般的讲，设$\mathbb R^n$的范数为$\Vert \Vert_\infty$，那么：
- 其上的有界序列必有收敛子列；
- 所有有界闭集都是紧密的；
连通性
设$E$为一实赋范向量空间。
若$X$中的映射$\gamma: [0,1] \to X$满足$\gamma(0) = a, \gamma(1) = b$，那么称其为连通$a$和$b$的一条路径。
在实数域中，任何一个线段都可以等价于一条路径。
若度量空间$X$中的任意两点之间都有连通的路径，那么称这个空间是连通的。 若度量空间$X$的一个子集$C$，加上限制在$C$上的$X$上的距离构成的度量空间是连通的，那么称这个集合是连通的。
任何一个凸集合都是连通的。
一个度量空间（或度量空间的一个子集）上，两个点的连通关系是一个等价关系，满足自反性、传递性和对称性。 这个等价关系的等价类称为连通分量，连通分量中的任意两点是连通的。
有限连通集合的的积是连通的。
连通与连续
一个连通集合关于连续函数的像仍是连通的。
（介值定理）设$C \subset E$为一连通集合，映射$f: C \to \mathbb{R}$是连续的，那么$f(C)$是$\mathbb{R}$上的一个区间。