光的波动模型
基于光线的几何光学不能解释光的干涉与衍射，因此我们必须引入光的波动模型。
光波：电磁波的标量近似
当光学系统的特征长度小于等于光的电磁波波长时，几何光学就不能再解释光学现象了。 为了研究小尺度下的光学，我们使用精密的光学传感器来验证电磁学中给出的电磁波的现象。
常见的光学传感器
光学传感的一项重要指标是其响应时间$\tau$，即能够分辨的两个信号之间的最短时间。
人眼的响应时间约为0.1秒，电荷耦合元件（常见于数码相机中）的响应时间约为$10^{-2}$秒，而光电二极管的响应时间约为$10^{-6}$秒。
光学传感器感知的实际上是再其相应时间内光波的平均功率（密度），即： \(\left| \langle \vec{\Pi}(M,t) \cdot \vec n \rangle _\tau \right| = \varepsilon_0 c \cos \theta \left| \langle E^2 (M,t) \rangle \right|\) 其中$\vec \Pi = \varepsilon_0 c E^2 \vec u$，表示一个平面谐波的玻印廷矢量。 $\vec n$表示传感器的法向量。
对可见光而言，其一个周期的时间的数量级为$10^{-14}$秒。 可见光的周期远大于传感器的响应时间，因此几乎所有传感器接收到功率的实际上都是可见光的平均功率（密度）。
光波的定义
我们知道，电磁波是一个矢量波，其波动函数是一个矢量函数，电磁波的叠加也遵守矢量运算的规律。 然而，我们可以通过一些近似来用标量表示它。 我们总是选择坐标系的X轴使其与波的传播方向重合，这样，由于电磁波是纵波，其在X轴上的分量总是为零。 我们有： \(\langle \Vert \vec E \Vert^2 \rangle = \cancel{\langle E_x^2 \rangle} + \langle E_y^2 \rangle + \langle E_z^2 \rangle\) 对于非偏振的自然光，其在Y轴和Z轴上的传播方程相同且相互独立，因此其平均值总是相同。 这样，电磁波就丧失了其方向性，而只具有大小，变成了标量波。
我们称这样的标量波为光波。
光波的叠加原理
当多束光波的传播方向接近（同向或反向）时，光波的叠加满足线性。
注意光波的线性叠加必须满足其传播方向接近的前提条件。 在之前的定义中，我们假设电磁波总是沿X轴传播，因此才能定义标量的光波。 当传播方向不再接近时，两束波就不能再看作同时沿X轴传播了，因此叠加不再是线性的。
辐照度与发光强度
辐照度定义为单位面积接收到的光电磁波的平均功率： \(\mathcal E(M) = K \langle s^2(M,t) \rangle _\tau = K \langle s^2(M,t) \rangle _T\) $K$为一常数。单位为瓦特每平方米。
发光强度是根据人眼的光学特点定义的一个SI基本物理量，表示单位立体角的光通量： \(I = \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm d \Omega}\) 单位为坎德拉。 其中光通量由下式计算： \(\Phi = K \int_0^\infty \overline{y}(\lambda) J(\lambda) \mathrm d \lambda\) 其中$\overline{y}$是一个关于波长的函数，称为视见函数或光度函数。 $J$表示某个波长的光的功率。 单位系数$K = 683.002$流明每瓦。
单色光波
我们在导电、线性、各向同性且透明的介质下研究光的传播： \(n(M) \in \mathbb{R}\) 和此前不同，我们并不限制这个介质是均匀的。
单色光波的表达式
单色光波满足达朗贝尔方程的一个变体： \(\Delta s (M,t) - \frac{1}{v(M)^2} \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} (M,t) = 0\) 其中$v(M) = \frac{c}{n(M)}$。
根据光源和介质的不同，这个波动方程也可能不同。
单色光波波动方程的解满足以下形式： \(s(M,t) = A(M) \cos (\omega t - \varphi(M))\) 其中$\omega$称为光的角频率，$A(M)$称为振幅，我们设其恒正，$\varphi(M)$称为其在$M$点的相位延迟。
复数表示
和电磁波一样，我们可以使用复数来同时表示这个波的振幅和相位： \(\underline{s}(M,t) = A(M) \exp \lbrack i (\omega t - \varphi(M)) \rbrack = \underline{A}(M) \exp \lbrack i \omega t \rbrack\) 复数$\underline{A}(M)$的模长就是振幅，而其辐角的相反数就是相位。
辐照度
若传感器的积分时间$\tau$远大于周期，单色光波的辐照度可以容易地计算出来： \(\begin{aligned} \mathcal E (M) &= \frac{K A^2(M)}{2} \\ &= \frac{K}{2} \underline{A}(M) \underline{A}^*(M) \\ &= \frac{K}{2} \underline{s}(M,t) \underline{s}^*(M,t) \end{aligned}\)
为了使计算式简单，我们可以取$K = 2$。
光程与相位
根据定义，光程为折射率沿光路的曲线积分： \(\mathcal L(BC) = \int_B^C n(M) \mathrm d s\)
如果介质是均匀的，那么光程就等于折射率乘光路的长度。
光程与相位满足如下关系：
如果不在三种例外情况之中，那么$B$点到$C$点的相位与光程满足： \(\varphi(C) = \varphi(B) + \frac{2\pi}{\lambda_0} \mathcal L (BC)\) 如果光路被良导体（金属）反射、被折射率更高的介质反射或经过几条光线的交汇处，那么还会产生一个额外的大小为$\pi$的相位差。
标量波模型本身就是对实际情况在忽略方向情况下的逼近，因此不能非常好地处理被反射或折射的情况。 严格的计算需要使用电磁波在界面处法向连续的条件进行推导，而这一推导最后被总结成了菲涅尔定律。
马吕斯-杜宾定理
点光源$S$的一个波面表示所有使从光源到该点的光程相同的点的集合。
（马吕斯-杜宾定理）波面正交于同心光束（即同一点光源发出的光束）的场线方向。
值得注意的是，波面虽然总是正交于光束的场线方向，但其不一定是连续的。 比如，如果光束的一部分通过折射率不同的介质，那么波面就会有中断的地方。
不同形状的波的相位差
本节中我们将研究两种不同形状的波：球面波与平面谐波。
球面波
球面波由两个分量组成，写作： \(\underline{s}(M,t) = \frac{\mathcal A_+}{r} \exp [i (\omega t - k r - \psi_+)] + \frac{\mathcal A_-}{r} \exp[i(\omega t + kr - \psi_-)]\) 其中前一个波称为发散的波，后一个波称为收束的波，这两种波都可以由一个点波源表示。
不难注意到这些波在空间上某两点的相位差只与其距离波源的距离（即径向距离）决定。
- 对发散的波，我们有： \(\varphi(M) - \varphi(N) = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \mathcal L (MN) = \frac{2 n \pi}{\lambda_0} MN\)
- 对收束的波，我们有： \(\varphi(N) - \varphi(M) = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \mathcal L (MN) = \frac{2 n \pi}{\lambda_0} MN\)
其中，$MN$表示两点径向距离的代数差。
平面谐波
平面谐波两点之间的相位差为： \(\varphi(M) - \varphi(N) = \frac{2n\pi}{\lambda_0} \vec u \cdot \vec{NM}\) 即其相位差的绝对值正比于两点之间的向量在波传播方向上的投影。
现实光源
光源的谱
完美的单色光源只产生一种频率的电磁波，根据傅里叶变换的原理，这种模型足以描述大部分实验现象。 然而，现实光源显然不可能只发出一种频率的电磁波。 这种情况下，我们可以将发出的光表示为单色信号的积分： \(s(M,t) = \int_{0}^\infty a(M,\nu) \cos (2 \pi \nu t - \varphi(M, \nu)) \mathrm d \nu\) 从而根据这种形式，我们定义光源的辐照度密度。
定义光源的辐照度密度，记为$e_\nu(\nu)$表示在一个微小区间$[\nu, \nu + \mathrm d \nu]$上的辐照度： \(e_\nu(\nu) = \frac{\mathrm d \mathcal E}{\mathrm d \nu}\) 从而辐照度满足 \(\mathcal E = \int_0^\infty e_\nu (\nu) \mathrm d \nu\)
同理，我们也可以定义关于波长的辐照度密度和关于波数的辐照度密度，我们知道$\lambda = \frac{1}{\sigma} = \frac{c}{\nu}$，则三者满足： \(e_\lambda(\lambda) = \sigma^2 e_\sigma(\sigma) = \frac{\nu^2}{c} e_\nu (\nu)\)
伪单色原子灯
我们考虑一种简化的光源模型，在光源中，原子受到激发，并发出能量为$h\nu$的光子。 这种光源并不能持久地发光，相对地，其发出一列时长为$\tau_c$的正弦波列，这个时长称为相干时长。 这种情况下，波列的持续时间相同，但初相位是随机分布的。
这种光源相当于在正弦波上乘一个门函数进行采样，从而其谱是一个$\mathrm{sinc}$函数的平方。
偏振光
此前我们一直假设光是波动的标量，然而实际上，光是一种电磁波，其总是在空间中运动的。 我们假设电磁波沿着X轴正方向传播，那么电场可以写为： \(\vec E(M,t) = \left| \begin{aligned} & 0 \\ & E_{0y} \cos (\omega t - kx) \\ & E_{0z} \cos (\omega t - kx - \varphi) \end{aligned} \right.\)
以X轴正方向面向我们，Y轴正方向向右，Z轴正方向向上建立右手坐标系来进行研究。 如果电场在OYZ平面画出一条直线，那么称其为线偏振的； 如果画出一个圆，那么称其为圆偏振的； 如果画出一个椭圆，那么称其为椭圆偏振的。
对圆偏振和椭圆偏振，我们选择其图像与Z轴正半轴的交点，即其最高处，若此时其具有向左运动的趋势（即逆时针运动），那么称其为左偏的，反之称其为右偏的。
显然，（椭）圆偏振的光可以分解为两个正交的直线偏振光之和。
马吕斯定律
我们使用一类特殊的光学仪器来制造并检验偏振光，即偏振片。 任何通过偏振片的光只能沿其指定的方向偏振。
如果让一束自然光通过偏振片，那么就会产生线偏振的光； 如果让线偏振的光通过偏振片，那么其光强就会减弱，这种情况的光强由马吕斯定律给出。
沿一个偏振方向观察到的线偏振光的光强满足： \(\varepsilon_{\text{观察}} = \varepsilon_\text{实际} (\cos \theta)^2\)
半玻片
一些介质具有各向异性，这意味着其对不同偏振角度入射的光具有不同的折射率。 我们着重研究其中一种介质，这种介质对Y轴偏振光的折射率为$n_y$，而对Z轴的折射率为$n_z$。 我们设$n_z < n_y$，那么其沿Z轴的速度快于沿Y轴的，从而我们称Z轴为快轴，Y轴为慢轴。
这种折射率的差距会导致这两个偏振方向的光出现光程差，从而出现相位差，使得Z轴的相位提前于Y轴的。 不难验证，两者的相位差满足： \(\Phi = \varphi_z - \varphi_y = \frac{2 \pi (n_y - n_z)}{\lambda_0} e\) 其中$e$为玻片的厚度。
如果对某种特殊的光，玻片的相位差恰好等于$\pi$，那么称这个玻片为半玻片； 如果相位差等于$\pi / 2$，那么称这个玻片为四分之一玻片。
半玻片能将右偏（椭）圆偏振光变为左偏（椭）圆偏振光； 而四分之一玻片能将（椭）圆偏振光变为直线偏振光，将直线偏振光变为（椭）圆偏振光。