等离子体中的色散
本文中，我们将借助电磁波在等离子体中的传播理解波的色散。
电磁波在局部中性等离子体中的传播
等离子体或等离子态物体是高温下常见的一类物质的总称，其特点在于其中的相当一部分分子处于被电离的状态，因此具有良好的导电性。 本节我们将简单研究电磁波在一种等离子体模型下的传播。
稀等离子体模型
我们将研究最简单的等离子体模型：稀等离子体模型。 我们有五个基本假设：
- 等离子体由等电荷的阳离子和电子组成，其中电子的密度为$n_e$；
- 在没有电磁波的情况下，等离子体保持局部的电中性，即体积元中的阳离子和电子个数相同；
- 不考虑等离子体中粒子的相互作用；
- 忽略阳离子和电子所受的重力，假设质量大的阳离子保持静止；
- 电子的速度远小于光速。
稀等离子体中的麦克斯韦方程
考虑稀等离子体中的麦克斯韦方程： \(\left\{ \begin{aligned} \vec \nabla \cdot \vec E & = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \\ \vec \nabla \cdot \vec B & = 0 \\ \vec \nabla \times \vec E & = \frac{\partial \vec B}{\vec t} \\ \vec \nabla \times \vec B & = \mu_0 \vec j + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \end{aligned} \right.\)
如果我们假设这个波具有复数的形式，那么我们可以把方程放到复数域下： \(\left\{ \begin{aligned} - i \vec k \cdot \vec{\underline E} &= 0 \\ - i \vec k \cdot \vec{\underline B} &= 0 \\ - i \vec k \times \vec{\underline E} &= - i \omega \vec{\underline B} \\ -i \vec k \times \vec{\underline B} &= \mu_0 \vec{\underline j} + \frac{j \omega}{c^2} \vec{\underline E} \end{aligned} \right.\)
这能极大地简化我们的计算。
前两个等式说明等离子体中的电磁波依然是纵波，而后两个等式意味着我们需要求出等离子中的电流才能得出电磁场。
等离子体中的电流与电磁场的联系
在局部电中性的等离子体中，电流密度和电场满足： \(\frac{\partial \vec j}{\partial t} = \frac{n_0 e^2}{m} \vec E\)
对单个电子应用牛顿第二定律： \(\begin{aligned} m \frac{\mathrm d \vec v(x(t),t)}{\mathrm d t} &= -e \vec E \\ m \left\lbrack \frac{\partial \vec v}{\partial t} + (\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v \right\rbrack &= -e \vec E \\ \end{aligned}\) 我们假设电磁场沿Z轴正方向传播，那么电子的速度只有XY方向的分量（因为电磁波是纵波），从而： \((\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d y} \\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{pmatrix} = v_x \frac{\mathrm d v_x}{\mathrm d x} + v_y \frac{\mathrm d v_y}{\mathrm d y}\) 在一个电子的尺度上，可以认为电磁场是均匀的，从而其速度与XY轴坐标无关，因此上式等于零。 带回前式，不难得到： \(m \frac{\partial \vec v}{\partial t} = -e \vec E\) 注意到$\vec j = n_0 e \vec v$，两边同时乘$e n_0$即可得到原式。
若电磁场是正弦波，那么有： \(\vec{\underline j}(M,t) = \underline \gamma \vec{\underline E}(M,t)\) 其中 \(\underline \gamma = - i \frac{n_0 e^2}{m \omega} = - i \varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega}\) 其中 \(\omega_p = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{m \varepsilon_0}}\) 等离子体在电场下的表现和电导率为$\underline \gamma$的导体相同。 我们约定电场正比于$\exp i \omega t$，若更换这个约定，那么电导率也会变化。
将上一个方程置于复数形式下即可。
克莱因-戈尔登方程
在中性的稀等离子体中，电场是满足以下传播方程： \(\Delta \vec E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = \frac{\omega_p^2}{c^2} \vec E\) 这个方程称为克莱因-戈尔登方程。
我们知道， \(\nabla \times \nabla \times \vec E = \vec \nabla \nabla \cdot \vec E - \Delta \vec E\) 从而对麦克斯韦-法拉第方程再取旋度，可得： \(\begin{aligned} RHS &= - \nabla \cdot \frac{\partial \vec B}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t} \nabla \cdot \vec B \\ &= - \frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \vec j + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \right) \\ &= - \mu_0 \frac{n e_0^2}{m} \vec E - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec E \\ \end{aligned}\) 从而： \(- \vec \Delta \vec E = - \mu_0 \frac{n e_0^2}{m} \vec E - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec E\) 移项即可。
寻找行波解
局部中性的等离子体中谐行波的色散关系为： \(k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} \quad \omega_p^2 = \frac{n_0 e^2}{m \varepsilon_0}\)
在复数形式下观察克莱因-戈尔登方程： \(\begin{aligned} &(-ik)^2 \underline{\vec E} - \frac{1}{c^2} (i \omega)^2 \underline{\vec E} = \frac{\omega_p^2}{c^2} \underline{\vec E} \\ \implies & \frac{\omega^2}{c^2} - k^2 = \frac{\omega_p^2}{c^2} \end{aligned}\) 移项即可。
我们称等离子体的折射系数满足： \(n^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}\) 那么色散关系可写为： \(k^2 = n^2 \frac{\omega^2}{c^2}\)
隐失波
当波的角频率小于$\omega_p$时，电磁波不能在等离子体中传播，而是指数衰减至零且不传播任何能量，因此称为隐失波。 因此，等离子体可视为一个高通滤波器，其截止频率与本征频率$\omega_p$相同。
注意到$k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2}$，不难得出： \(k = j \sqrt{\frac{\omega_p^2 - \omega^2}{c^2}} = j \frac{\omega}{c} \sqrt{\frac{\omega_p^2}{\omega^2}-1}\)
代入可得： \(\begin{aligned} \underline{\vec E} &= \underline{\vec E_0} \exp \left\lbrack j(\omega t - \underline k z) \right\rbrack \\ &= \underline{\vec E_0} \exp \left\lbrack j \omega t \right\rbrack \exp \left\lbrack - |k| z \right\rbrack \\ \implies \vec E &= \vec E_0 e^{-|k|z} \cos \omega t \end{aligned}\)
不难发现波的振幅是指数衰减的。 借鉴一阶系统或RC电路中的说法，我们称$\delta = - \frac{1}{|k|}$为等离子体的特征厚度。 若等离子体的实际厚度大于特征厚度，那么可认为电磁波不能穿过该等离子体。
值得注意的是，由于$k$是一个虚数，根据谐行波的结构关系： \(\underline{\vec B} = \frac{\underline{\vec k} \times \underline{\vec E}}{\omega}\) 可以发现磁场总是比电场提前四分之一个波长，因此根据： \(\langle \vec \Pi \rangle = \frac{1}{2} \Re \left( \underline{\vec B^*} \times \underline{\vec E} \right)\) 可知玻印廷矢量为零，波不传递能量。 因此所有能量要么被吸收了，要么被反射了。
非隐失波的结构关系
若$\omega > \omega_p$，那么这个波不再是隐失波，而能够在等离子体中正常传播。
但是，等离子体仍是色散的介质，因为$\omega$和$k$不是线性相关的。
此时，局部电中性的等离子体中的电场和磁场分别满足：
\(\vec E(M,t) \cdot \vec u = \vec B(M,t) \cdot \vec u = 0\)
且电场和磁场之间满足：
\(\vec B (M,t) = \frac{\vec k \times \vec E(M,t)}{\omega} = \frac{\vec u \times \vec E(m,t)}{v_\varphi}\)。
这些命题容易由计算验证。
波包在非吸收色散介质中的传播
本节中，我们将在色散但非吸收性的介质中研究一个波包（或波列）的传播。
两个频率相近的同振幅谐波
现在考虑两个频率相近的谐波的叠加： \(\omega_1 = \omega_0 - \frac{\delta \omega}{2}, \, \omega_2 = \omega_0 + \frac{\delta \omega}{2}\) 那么新的波的振幅为： \(\begin{aligned} u(x,t) &= u_m \cos [\omega_1 t - k_{(\omega_1)}x] + u_m \cos [\omega_2 t - k_{(\omega_2)}x] \\ &= 2 u_m \big( \cos[(\omega_0 - \frac{\delta\omega}{2})t - (k - \frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega} \frac{\delta \omega}{2})x] \\ &+ \cos[(\omega_0 + \frac{\delta\omega}{2})t - (k + \frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega} \frac{\delta \omega}{2})x] \big) \\ &= 2 u_m \cos (\omega_0 t - k_0 x) \cos (\frac{\delta \omega}{2}t - \frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega} \frac{\delta \omega}{2}x) \\ &= 2 u_m \cos (\omega_0 t - k_0 x) \cos (\frac{\delta \omega}{2}(t - \frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega}x)) \end{aligned}\)
不难发现，这个振幅具有两个不同的部分，一个部分具有非常显著的行波的特点，角频率为$\omega_0$，波矢为$k_0$，而另一个部分的频率非常的低，波矢为$\frac{\mathrm d k}{\mathrm d \omega}$。 实际上，正如调制的信号一样，后一个频率很低的波构成了这个波的包络，即波包。
波包的速度，即$\frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d k}$，称为这个波的群速度。
更一般的波包
波包，或称波列，为一系列无穷多同向传播的平面谐波的叠加，这些平面谐波中主要的角频率非常接近$\omega_0$： \(u(x,t) = \Re [\underline{u}(x,t)]\)，其中 \(\begin{aligned} \underline{u}(x,t) &= \int_0^\infty \underline A(\omega) \exp [j(\omega t - k(\omega) x)] \mathrm d \omega \\ & \approx \int_{\omega_0 - \frac{\delta\omega}{2}}^{\omega_0 + \frac{\delta\omega}{2}}\underline A(\omega) \exp [j(\omega t - k(\omega) x)] \mathrm d \omega \end{aligned}\)
时域有限性
我们不加证明地给出以下性质：
根据傅里叶变换的性质，波包在时域上的长度$\tau$和在频域上的长度$\delta \omega$满足： \(\delta \omega \cdot \tau \approx 1\)
包络存在性
波包可由一个平面谐波乘一个包络$\underline{E}$表述： \(\underline{u}(x,t) \approx \exp [j (\omega_0 t - k_{(\omega_0)}x)] \underline{E}(x,t)\)
波包的时变
波包由两个参数描述：
相速度$v_\varphi$：
\(v_\varphi = \frac{\omega_0}{k(\omega_0)}\)
和群速度$v_g$：
\(v_g = \left( \frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d k} \right)\)
若介质的群速度与频率无关，那么称这个介质是弱色散的，波包在其中传播时不会变形； 反之，则称这个介质是强色散的。
波包的相速度可以超过光速，但是群速度则不能。
任意角度入射电磁波的反射与透射
我们设垂直屏幕向内为X轴，界面的方向为Y轴，建立右手直角坐标系。 设入射电磁波在OYZ平面内，且其在平面内偏振，入射波所在的介质位于Z轴负半轴，其折射率为$n_1$，透射波的为$n_2$。 设入射角为$\theta_1$，反射角为$\theta_1^\prime$，透射角为$\theta_2$。
我们设： \(\begin{aligned} \vec{\underline{E_i}} &= E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_i \cdot \vec{OM})] \vec v_i \\ \vec{\underline{E_r}} &= \underline{r} E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_r \cdot \vec{OM})] \vec v_r \\ \vec{\underline{E_t}} &= \underline{t} E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_t \cdot \vec{OM})] \vec v_t \end{aligned}\) 根据我们的假设，$\vec v_i, \vec v_r, \vec v_t$都在OYZ平面内。
根据几何关系，不难发现 \(\vec k_i = \cos \theta \vec u_z + \sin \theta \vec u_y\) 然后再根据磁场和电场的耦合关系，即结构关系，可得： \(\vec{\underline{B_i}} = \frac{n_1}{c} E_0 \exp [j(\omega t - \vec k_i \cdot \vec{OM})] \vec u_x\) 同理，可以计算其他两个磁场，可得： \(\begin{aligned} \vec{\underline{B_i}} &= \frac{n_1}{c} E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_i \cdot \vec{OM})] \vec u_x \\ \vec{\underline{B_r}} &= - \underline{r} \frac{n_1}{c} E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_r \cdot \vec{OM})] \vec u_x \\ \vec{\underline{B_t}} &= \underline{t} \frac{n_2}{c} E_0 \exp [j (\omega t - \vec k_t \cdot \vec{OM})] \vec u_x \end{aligned}\)
根据电场在界面法向连续的特点，我们有： \(\begin{multline} E_0 \exp[j(\omega t - \vec k_i \cdot \vec{OM})] \cos \theta_1 \\ + \underline{r} E_0 \exp[j(\omega t - \vec k_r \cdot \vec{OM})] \cos \theta_1^\prime \\ = \underline{t} E_0 \exp[j(\omega t - \vec k_t \cdot \vec{OM})] \cos \theta_2 \end{multline}\) 由于$\vec{OM}$可取界面上任何一点，我们可以得出： \(\vec k_i \cdot \vec{OM} = \vec k_r \cdot \vec{OM} = \vec k_t \cdot \vec{OM}\) 从而有： \(\begin{aligned} k_i \sin \theta_1 = k_r \sin \theta_1^\prime &\iff \theta_1 = \theta_1^\prime \\ k_i \sin \theta_1 = k_t \sin \theta_2 &\iff n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 \end{aligned}\) 严格地讲，入射、反射和透射波的频率相等也是由这里推出的，但我们直接假设它们相等，从而略去了这里的证明。 最后，我们有： \(\cos \theta_1 + \underline{r} \cos \theta_1^\prime = \underline{t} \cos \theta_2\)
同理，应用磁场连续的特点，我们有： \(n_1(1-\underline{r}) = n_2 \underline{t}\)
代入，即可得： \(\underline{r} = \frac{n_1 \cos\theta_2 - n_2 \cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1 + n_1 \cos \theta_2}\) 这个关系称为菲涅尔公式。
如果电场不是在平面内偏振，而是沿X轴偏振，那么反射系数有所不同。
布儒斯特角
我们考虑反射系数等于零的特殊情况： \(\begin{aligned} r = 0 \iff n_1 \cos \theta_2 &= n_2 \cos \theta_1 \\ \theta_1 &= \arccos [\frac{n_2}{n_1} \cos \theta_2] \le \frac{\pi}{2} \end{aligned}\) 若入射角恰好等于此角，那么不会出现反射光，这个角称为布儒斯特角。
如果入射光不是沿平面偏振的，那么反射光就不再是零。 相对地，此时入射光沿平面偏振的分量的反射光为零，因此反射光一定是垂直于入射面方向偏振的，所以这个角也称为起偏振角。