多束光的干涉
本章中我们将研究多束光的干涉，这种干涉常见于通过衍射光栅的光中。
衍射光栅
衍射光栅是一种用于产生衍射图样的光学元件。 这种光栅可以通过折射或透射来产生衍射，本文只研究透射光栅。 在本章中，我们假设照射在光栅上的光是相干的准单色平行光，且电磁波的振幅相同。
衍射光栅的物理性质
衍射光栅是一系列周期排列的平行细缝组成的光学元件。 光栅上，只有细缝的位置可以完全透过光，而其他位置则阻止光通过。
我们记细缝的宽度为$b$，而从一个细缝开始的位置到下一个细缝开始的位置称为该光栅的步长，记为$a$。 如此，两条细缝之间不透光的部分的长度即为$a-b$，通常我们有$a$远大于$b$。 单位长度中细缝的条数记为$N$，是光栅的一个重要参数。
我们假设这些平行的细缝沿OX方向铺开，则细缝开口的方向垂直于OY轴。 出于研究的方便，我们设光栅无穷大，细缝无穷长。
常见的光栅在一毫米内的细缝的条数可达数百条，因此光栅的步长通常在微米级，而细缝的宽度通常小于一微米。
实验现象
我们使用一束单色激光垂直于光栅照射于其上，然后转动光栅或替换之，可观察到以下几点实验现象。
- 可见衍射图样：沿细缝平铺方向（即垂直于细缝透光的方向），可观察到多个亮斑，形成类似衍射的图样。我们称沿着激光光路上那一个亮斑为零级亮斑。
- 步长与亮斑间距成反比：若用更密的光栅替换原光栅，可见亮斑之间的间距加大。定量的研究表明两者成反比关系。
- 存在最小偏向角：以一条细缝为轴转动光栅，可见其他亮斑先靠近中心中心亮斑，再远离它，因此每一级亮斑都具有一个最小偏向角。
现在，用凸透镜聚焦汞灯或白光，然后照射在光栅上，可观察到光被分解为多条谱线（若为白光则是连续谱）。 这些谱线具有以下性质：
- 中心条纹不被分解，而保持原色。
- 其他条纹都是单色条纹，颜色与灯的光谱一致，且在垂直照射时对称地分布在中心条纹两侧。
- 红光（波长大的光）的偏向角大于紫光（波长短的光）的，因此红光位于外侧和紫光位于内侧，和棱镜正好相反。
- 若步长较小，则不同级的条纹可能出现混杂：更低级条纹的红光可能越过更高级条纹的紫光。
- 分立谱线的每一条都有各自的最小偏向角。
- 更高级条纹的光强更低，从而更难观察到。
布拉格定律
固体物理中的布拉格定律可用于解释这些现象，但首先我们需要设定一些前提：
- 光栅由一束平面波照亮，入射光与光栅法向的夹角记为$\theta_i$，这个角可以很大。
- 光栅视作无穷大，不考虑照射到外部的情况。
- 细缝视作无穷细。
- 在无穷远处观察结果，即出射光可以是平行光。
布拉格定律指出： 若步长为$a$的透射光栅被单色平面光波照亮，其在真空中的波长为$\lambda_0$，且与光栅的法线方向成$\theta_i$角，那么第$p$级光斑与光栅法线的夹角$\theta_p$满足： \(n_a a (\sin \theta_p - \sin \theta_i) = p \lambda_0 \iff a(\sin \theta_p - \sin \theta_i) = p \lambda\) 其中$n_a$是介质的折射率，$p$称为衍射级数。
当介质中的波长远小于光栅步长时，可见非常多的亮斑；否则，只有较低级数的光斑可见。 这一公式可以解释以上所有实验现象。
值得注意的是，上一公式表明出射角$\theta_p$与光的波长有关，因此透射光栅是色散的。 更具体地说，当波长上升时，同一级条纹的$\theta_p$也会上升，而这与棱镜相反： 柯西公式指出色散材质的折射率与波长平方的倒数正相关，即波长上升时折射率下降，因此折射角更小。
几何证明
我们只研究通过相邻细缝的两束光的光程差，因为相距多个细缝的光的光程差的研究方法与其完全相同。 相隔一条细缝的两束光的光程差是相邻的两倍，而相隔两条细缝的为三倍，依此类推。
注意到入射和出射光都是平面波，因此从两条细缝的位置（细缝无穷细，因此可视为一个点）分别向入射光和出射光作垂线，即可计算出其光程差。
我们为每一条细缝按顺序从一开始编号，假设标号为$A$的点代表的细缝序号更低，而$B$序号更高。 计算光程差可得： \(\begin{aligned} \delta &= \mathcal L_1 - \mathcal L_2 \\ &= n(AC - BD) \\ &= n(a \sin \theta_p - a \sin \theta_i) \end{aligned}\) 又光斑所在处必然为干涉相长的位置，我们有： \(\delta = p \lambda_0\) 联立可得： \(n a (\sin \theta_p - \sin \theta_i) = p \lambda_0\)
计算光强
若平面波照亮了光栅上$N$条无限细的细缝，那么在无限远处与光栅法向成$\theta$角的位置的光强由以下公式算出： \(\mathcal E(M) = \mathcal E_0 N^2 \underbrace{\left( \frac{\sin \frac{N \Phi(M)}{2}}{N \sin \frac{\Phi(M)}{2}} \right)^2}_{R_N(\Phi)}\) 其中： \(\Phi(M) = \frac{2\pi}{\lambda_0} n_a a (\sin \theta_i - \sin \theta)\)
记通过第$k$条细缝的光的方程为： \(S_k(M,t) = A(M) \sin (\omega t - \varphi_k) \iff \underline{S_k}(M,t) = \underline{A}(M) \exp [i(\omega t - \varphi_k)]\) 在布拉格关系的证明之中，我们计算过，相邻两条细缝的光线的光程差为$a \sin \theta - a \sin \theta_i$。 注意这是序号较低的细缝减去序号较高细缝的光程差。 现在我们希望计算$\varphi_k - \varphi_{k-1}$，这个相位差代表的光程差与上文的相反： \(\varphi_k - \varphi_{k-1} = \textcolor{red}{-} \frac{2\pi}{\lambda_0} n_a a (\sin \theta - \sin \theta_i)\) 从而我们记： \(\Phi(M) = \frac{2\pi}{\lambda_0} n_a a (\sin \theta_i - \sin \theta)\) 那么： \(\underline{S_k} = {S_{k-1}} e^{- i \Phi} = \underline{S_{k-2}} e^{-i 2 \Phi} = \cdots = \underline{S_1} e^{-i(k-1)\Phi}\) 从而应用等比数列求和公式计算某点处的总的波： \(\begin{aligned} \underline S &= \underline{S_1} (1 + e^{-i \Phi} + \cdots + e^{- i (N-1) \Phi}) \\ &= \underline{S_1} \frac{1 - e^{-iN\Phi}}{1 - e^{-i\Phi}} \\ &= \underline{S_1} \frac{e^{-i \frac{N}{2} \Phi}}{e^{-i \frac{1}{2} \Phi}} \frac{e^{i \frac{N}{2} \Phi} - e^{-i \frac{N}{2} \Phi}}{e^{i \frac{1}{2} \Phi} - e^{-i \frac{1}{2} \Phi}} \\ &= \underline{S_1} \frac{e^{-i \frac{N}{2} \Phi}}{e^{-i \frac{1}{2} \Phi}} \frac{\sin \frac{N}{2} \Phi}{\sin \frac{\Phi}{2}} \end{aligned}\) 现在计算光强，可得： \(\begin{aligned} \mathcal E &= K \langle | \underline S |^2 \rangle \\ &= K | \underline{S_1} |^2 \left( \frac{\sin \frac{N}{2} \Phi}{\sin \frac{1}{2} \Phi} \right)^2 \\ &= \mathcal E_0 N^2 \left( \frac{\sin \frac{N}{2} \Phi}{N \sin \frac{1}{2} \Phi} \right)^2 \end{aligned}\)
光强的物理意义
我们着重考虑$R_N$这一函数的特点。
不难注意到，该函数是周期的，且其最小正周期为$2\pi$。 因此，考虑到$R_N(0)=1$，有 \(R_N(p \cdot 2\pi) = 1, \; p \in \mathbb Z\) 这说明了各个亮斑的位置。
在区间$[0, 2\pi]$上，该函数有$N-1$个零点，从而除去$0$和$2\pi$两个位置，还有$N-2$个极大值。 这些极大值的值非常小，因此很难观察到这些点，因此我们不考虑这些亮斑。
当照射的条纹数上升后，原来是亮斑的位置仍然是亮斑，但其光强增加了。 除此之外，两个零点之间的距离为$\frac{4\pi}{N}$，因此条纹数上升后，亮斑处的峰变细了。
考虑缝宽的光强表达式
此前我们把缝视作无穷细，此时的通过缝的光线可视作一个空间上的狄拉克德尔塔函数。 如果考虑缝宽，那么此时光线应被视为一个门函数。 注意到光强与光线分布上存在一个类似傅里叶变换的关系，我们不加证明地给出考虑缝宽时的光强公式：
\[\mathcal E(M) = \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{b}{2a} \Phi(M) \right) \mathcal E_0 N^2 R_N(M)\]法布里-珀罗干涉仪
法布里-珀罗干涉仪使用两面平行的半反半透镜，通过让光线在其中发生多次反射来形成光程差，其示意图如下：
设两面镜子对振幅的反射和透射系数分别为$r$和$t$，则其满足$r^2+t^2=1$，其中$r^2$和$t^2$表示能量的反射和透射系数，记为$R$和$T$。
按照和迈克耳孙干涉仪中空气薄膜干涉相同的推理，相邻两束光线的光程差和相位差分别为： \(\delta = 2nl\cos\theta, \; \varphi = \frac{4\pi l \cos \theta}{\lambda}\)
通过将光屏放置在无穷远处，或通过凸透镜聚光成像，可形成圆环状的干涉图案。
干涉图案上一点的振幅可视为无穷束等倾的平行光的振幅之和： \(\underline{a}(M) = \underline{a_0} T(1 + R e^{i\varphi} + R^2 e^{2i\varphi} + \cdots)\) 这个级数绝对收敛，因此该振幅是良定义的，利用等比数列求和公式： \(\underline{a}(M) = \underline{a_0}T \frac{1}{1 - R e^{i \varphi}}\) 从而其光照强度为： \(\mathcal E(M) = |\underline{a}(M)|^2 = \frac{\mathcal E_0}{1 + \frac{4R}{(1-R)^2} \sin^2 \frac{\varphi}{2}}\)
这个函数的变化非常剧烈，在接近$2 k \pi$时快速达到最大值，而在$(2k+1)\pi$时取最小值，最小值非常贴近零，从而在$2k\pi$处形成非常尖锐的尖峰。 这意味着这种干涉仪的分辨力极强。 钠灯的两条波长相差仅$0.6$纳米的谱线在法布里-珀罗干涉仪上也可清晰地分辨出来，如下图所示：
干涉仪的分辨率由两个变量表征：尖峰宽度和分辨力。
尖峰宽度是函数$\frac{\mathcal E}{\mathcal E_0}$在$2k\pi$附近最大值尖峰的宽度，用函数值从$1$降至$\frac{1}{2}$时相位差的两倍$\Delta \varphi$表示，定义为： \(\mathcal F = \frac{2\pi}{\Delta \varphi}\) 当$R$逼近$1$时，其值近似为$\pi \frac{\sqrt{R}}{1-R}$。
分辨力定义为 \(\mathcal {PR} = p \mathcal F\) 其中$p = \frac{2 l \cos i}{\lambda}$表示干涉级数。
干涉滤镜
利用法布里-珀罗干涉仪的原理，可以制成非常精确的滤色镜。 若光线垂直入射，那么相邻两束光线的光程差即为： \(\delta = 2 n_{air} l = p \lambda_0\) 从而通过适当地选取两片玻片的间距，即可实现滤色。
如选择$e = 0.546 \mathrm{\mu m}$，那么干涉相长的波长位于1.09微米、546纳米、364纳米等等，而其中位于可见光的只有$546$纳米的绿光。
这种干涉滤镜往往会附有一层着色的玻璃板来加强效果，然而其实际的工作原理和玻璃板的颜色关系不大。