傅里叶级数——基本性质
傅里叶级数是数学中一个重要的级数，其可以以三角函数逼近满足一定条件的周期函数。 对傅里叶级数的分析构成数学分析中的一个重要分支——调和分析。
绪论
众所周知，傅里叶级数及其相关研究是在周期函数之上进行的。 为此，我们引入一些记号来表示这些函数。
- 我们知道，在$\mathbb R$上模$2\pi$同余是一个等价关系，我们定义$\mathbb T$为这个等价关系定义的等价类的集合。
- 记$x$的等价类$\tilde x = x + 2 \pi \mathbb R$；
- 如果要保证映射$\mathbb R \to \mathbb T, x \mapsto \tilde x$为满射，则可自然定义出一个加运算，这个加运算就是同余意义下的加法；
- 这个集合加上同余意义下的加法运算后构成一个阿贝尔群，且和复数域上的单位圆群$(\mathbb U, \cdot)$同构。
- 记$\mathcal C^k (\mathbb T)$为所有从$\mathbb R$到$\mathbb C$的周期为$2 \pi$的k阶可导且导数连续的函数的集合。
- 任何一个属于此集合的函数$f: \mathbb R \to \mathbb C$都和另一个函数$\tilde f : \mathbb T \to \mathbb C$等同。
- 这个集合是一个$\mathbb C$的向量空间。
- 如果一个分块连续函数满足$\forall x, \, f(x) = \frac{f(x-) + f(x+)}{2}$，则称这个函数是正规化的。
记正则化的周期为$2 \pi$的从$\mathbb R$到$\mathbb C$的函数为$\mathcal C_m (\mathbb T)$。
- 这个集合也是$\mathbb C$的向量空间。
- 综合以上记号，我们用$\mathcal C^1_m (\mathbb T)$表示一阶可导且导数分块连续的正规分块连续函数。
- 我们知道，对分块可导函数，其断点处的值并不影响函数的性质。 从而，我们要求$f^\prime(x) = \frac{f^\prime(x-) + f^\prime(x+)}{2}$。
在这些定义的帮助之下，我们可以得出几个和积分有关的显然的性质：
设$f \in \mathcal C_m (\mathbb T)$，则$\forall a \in \mathbb R$有： \(\int_a^{a + 2\pi} f = \int_0^{2\pi} f\) 设$f,g \in \mathcal C (\mathbb T) \cap \mathcal C_m^1 (\mathbb T)$（即函数连续，导函数分块连续），则分部积分法仍成立： \(\int_0^{2\pi} f^\prime \cdot g = \left. f \cdot g \right|_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} f \cdot g^\prime\)
傅里叶系数与傅里叶级数
为方便下面的研究，我们定义几个简单的函数： \(\begin{aligned} e_n &: \; \mathbb R \to \mathbb C, \; x \mapsto e^{inx} \\ cos_n &: \; \mathbb R \to \mathbb C, \; x \mapsto \cos (nx) \\ sin_n &: \; \mathbb R \to \mathbb C, \; x \mapsto \sin (nx) \\ \end{aligned}\) 这些函数都是$\mathcal C (\mathbb T)$中的光滑函数。
我们定义三角多项式为由 $(e_n)_{n \in \mathbb Z}$ 张成的向量空间$\mathcal P (\mathbb T)$中的元素。 我们称一个多项式的次数小于等于$n$，若其能表示为$(e_k)_{-n \le k \le n}$的线性组合，即其可写为： \(\sum_{k = -n}^{n} c_k e_k\) 记次数小于等于n的三角多项式集合为$\mathcal P_n (\mathbb T)$。
向量空间$\mathcal P_n (\mathbb T)$的维数为$2n+1$，其有两个基底： $(e_{-n},e_{-n+1},\dots,e_{0}, \dots, e_{n})$和 $(\frac{1}{2}, \cos, \sin, \cos_2, \sin_2, \dots, \cos_n, \sin_n)$
我们利用正交性证明这个定理： \(\int_0^{2\pi} e_k e_l = \delta_{k, l} 2 \pi\) 有： \(\begin{aligned} c_{-n} e_{-n} + \cdots + c_n e_n &= 0 \\ c_{-n} e_{-n} e_k + \cdots + c_k e_k e_k + \cdots + c_n e_n e_k &= 0 \\ \int_0^{2\pi} c_{-n} e_{-n} e_k + \cdots + c_k e_k e_k + \cdots + c_n e_n e_k &= 0 \\ 2 \pi c_k &= 0 \\ c_k &= 0 \quad \forall k = -n, \dots, n \end{aligned}\) 因此，我们证明了$(e_{-n},e_{-n+1},\dots,e_{0}, \dots, e_{n})$是其一个基底。 我们已经知道$(e_{-n},e_{-n+1},\dots,e_{0}, \dots, e_{n})$是其一个基底，利用欧拉公式把所有的$e^{inx}$展开，即有： \(\phi = \sum_{k=-n}^{n} c_k e_k = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k \cos_k + b_k \sin_k)\) 其中，如果假设$a_{-n}=a_n, \; b_{-n} = -b_n$，则有： \(\left\{ \begin{aligned} a_n &= c_n + c_{-n} \\ b_n &= i (c_n - c_{-n}) \\ c_n &= \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \end{aligned} \right.\)
上述证明中给出了两种表示三角多项式的方法，并给出了其系数的转化关系。 不难发现，第二种表示方式和级数的部分和极其相似，从而我们定义三角级数：
我们称形如： \(\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos_n x + b_n \sin_n x)\) 的函数级数为三角级数。 其部分和为： \(f_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k \cos_k x + b_k \sin_k x)\)
这个级数也可以写成指数函数的形式： \(\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos_n+ b_n \sin_n) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k e_k\)
完成这些初步的定义后，我们就可以研究和函数有关的傅里叶级数了。
对分段连续函数$f \in \mathcal C_m{\mathbb T}$，我们定义其傅里叶系数为： \(\begin{aligned} a_n(f) &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) \mathrm d x \\ b_n(f) &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) \mathrm d x \\ c_n(f) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-inx} \mathrm d x \end{aligned}\) 相应地，其傅里叶级数为这些系数组成的三角级数： \(\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n(f) e^{inx} = \frac{a_0}{2}(f) + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n (f) \cos_n x + b_n (f) \sin_n x)\) 如果假设$a_{-n}=a_n, \; b_{-n} = -b_n$，则仍满足以下关系： \(\left\{ \begin{aligned} a_n &= c_n + c_{-n} \\ b_n &= i (c_n - c_{-n}) \\ c_n &= \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \end{aligned} \right.\)
注意积分里的指数函数有负号，而级数里的没有。
这个级数的部分和记为： \(\begin{aligned} S_n(f)(x) &= \frac{a_0}{2}(f) + \sum_{k=1}^{n} (a_k (f) \cos_k x + b_k (f) \sin_k x) \\ &= \sum_{k = -n}^{n} c_k(f) e^{ikx} \end{aligned}\)
傅里叶系数的性质
我们记$\hat f : \; \mathbb Z \to \mathbb C, \; n \mapsto c_n(f)$， 则映射$\mathcal C_m (\mathbb T) \to \mathbb C^{\mathbb Z}, \; f \mapsto \hat f$是线性的，且满足 \(\forall f \in \mathcal C_m (\mathbb T) \quad \sup_{\mathbb Z} \left| \hat f \right| \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| f \right| \le \sup_{\mathbb R} \left| f \right|\) 这说明傅里叶系数的$c_n$上确界不能超过函数绝对值的上确界。 这一命题可直接由定义验证。
如果对函数施加一些变换，那么其傅里叶系数也会发生类似的变换。 这一性质可由以下命题描述：
- 设$x_0 \in \mathbb R$，且$g(x) = f(x - x_0)$，则$\hat g(n) = e^{-inx_0} \hat f(n)$；
- 设$n_0 \in \mathbb Z$，且$g(x) = e^{in_0x} f(x)$，则$\hat g(n) = \hat f (n - n_0)$；
- 设$g(x) = f(-x)$，则$\hat g(n) = \hat f(-n)$；
- 设$g(x) = \overline {f(x)}$，则$\hat g(n) = \overline{\hat f(-n)}$。
这些命题都很容易由定义验证。
注意第一条和第二条与拉普拉斯变换高度相似。
第三条性质表明，偶函数的傅里叶系数也是偶函数，从而$b_n = i(c_n - c_{-n}) = 0$，其傅里叶级数只含有$a_n$； 同理，若该函数为奇函数，则傅里叶级数中只含有$b_n$。
由第四条性质，若原函数是实值函数，则$c_n$与$c_{-n}$共轭，且$a_n$与$b_n$都是实数。
对求导运算，有以下命题：
设$f \in \mathcal C (\mathbb T) \cap \mathcal C_m^1 (\mathbb T)$，则有$\hat {f^\prime} (n) = in \hat f(n)$。
对$c_n(f^\prime)$分部积分即可验证。
同理，设$f \in \mathcal C (\mathbb T) \cap \mathcal C_m^p (\mathbb T)$，则有$\hat {f^{(p)}} (n) = (in)^p \hat f(n)$。
这一性质也和拉普拉斯变换非常相似。
对任意周期的函数，可以类比定义各自的傅里叶系数。 设$f: \; \mathbb R \to \mathbb C$为周期为$T$的分块连续正规函数，则可定义$g \in \mathcal C_m (\mathbb T), \; g(x) = f(\frac{T}{2\pi} x)$，通过$g$的傅里叶系数来定义$f$的： \(\forall n \in \mathbb Z \quad c_n^T(f) = c_n(g) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(x) e^{-inx} \mathrm d x = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-\frac{2\pi}{T} i n t} \mathrm d t\) 从而其傅里叶级数为： \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n^T(f) e^{\frac{2\pi}{T} inx}\)
特别地，$T = 1$时，其傅里叶级数为 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n^1(f) e^{\frac{2\pi}{T} inx} = \frac{a_0^1(f)}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^1(f) \cos 2\pi nx + b_n^1(f) \sin 2\pi nx)\)