线性时不变一阶与二阶系统

我们来考虑几个典型系统。

积分系统

积分系统的传递函数为： $H(p) = \frac{K}{p}$ 从而。有： $H(j \omega ) = -j \frac{K}{\omega} \implies \left\{ \begin{aligned} G_{db} ( \omega ) &= 20 \log K - 20 \log \omega \\ \phi ( \omega ) &= - \frac{\pi}{2} \end{aligned} \right.$

要点：

波德图增益部分为一根斜率为-20的直线，辐角始终为$- \frac{\pi}{2}$；
尼柯尔斯图为一根直线，随$\omega$增大从$(0, +\infty)$变为$(0,-\infty)$
奈奎斯特图为一根直线，随$\omega$增大从$(0, -\infty)$变为$(0,0)$。

一阶系统

一阶系统的传递函数为： $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$

时域响应

冲激响应

考虑冲激函数$e(t) = A \delta (t) \iff E(p) = A$ 则其响应为$S(p) = \frac{KA}{1 + \tau \pi} \iff s(t) = \frac{KA}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} u(t)$ 从而其冲激响应为一从$(0, \frac{KA}{\tau})$开始的指数衰减函数，特征时间为$\tau$，此时其值大约为$0.368 \frac{KA}{\tau}$。其在零点处的切线与X轴的交点恰好为$(\tau,0)$

阶跃响应

考虑阶跃函数$e(t) = e_0 u(t) \iff E(p) = \frac{e_0}{p}$。则其响应为$S(p) = \frac{K}{1+\tau p} \frac{e_0}{p} \iff s(t) = Ke_0(1 - e^{-t \backslash \tau}) u(t)$ 从而其阶跃响应与目标的差也是一个指数衰减函数，在$3 \tau$时输出约为$0.95 K e_0$。

斜坡函数响应

考虑斜坡函数$e(t) = \alpha t u(t) \iff E(p) = \frac{\alpha}{p^2}$。其响应为$S(p) = \frac{K \alpha}{p^2(1+\tau p)}$，对应时域函数为$s(t) = K \alpha (t - \tau + \tau e^{-t \backslash \tau})$。从而其渐近线为从$(\tau,0)$开始的一条斜率为$K \alpha$的直线。输出在零点处的切线为水平线。

综上，$\tau > 0$的一阶系统总是稳定的，且其响应时间（以相对误差5%计）为$3\tau$。

图像表示

一阶系统的传递函数为： $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p} \implies H( j \omega ) = \frac{K}{1 + \tau^2 \omega^2} - j \frac{K \tau \omega}{1 + \tau^2 \omega^2}$ 从而有 $\left\{ \begin{aligned} G_{db} ( \omega ) &= 20 \log K - 10 \log (1 + \tau^2 \omega^2) \\ \phi ( \omega ) &= - \arctan (\tau\omega) \end{aligned} \right.$ 在低频区，$G_{db} \sim 20 \log K, \phi = 0^-$；在高频区，$G_{db} \sim 20 \log K - 20 \log \tau \omega, \phi = - \frac{\pi}{2}$。从而，低频区的渐近线为水平直线，而高频区的渐近线为斜率为$-20$的直线。其交点为$\omega = \omega_0 = \frac{1}{\tau}$，称为截止频率或截断频率。在截止频率处，有$G_{db} = 20 \log K - 10 \log 2 \approx 20 \log k - 3, \phi = -\frac{\pi}{4}$。

此外我们注意到： $(\Re [ H(j\omega) ] - \frac{K}{2})^2 + (\Im [H(j\omega)])^2 = \frac{K^2}{4}$ 因此其奈奎斯特图为一个圆心在$(-K/2, 0)$的圆。如果限制$\omega > 0$，则为一个在y负半轴的半圆。

要点：

波德图：增益部分有两条渐近线，交点为截止频率；此时增益为$20 \log k - 3$，辐角为$-\frac{\pi}{4}$。
尼柯尔斯图： $\omega = 0$时在$(0,20 \log K)$； $\omega = \omega_0$时在$(-45^\circ, 20 \log K - 3)$； $\omega \to \infty$时在$(-90^\circ, -\infty)$。
奈奎斯特图：一个半圆，$\omega = 0$时在$(K,0)$； $\omega \to \infty$时在$(0,0)$。

二阶系统

二阶系统的传递函数为： $H(p) = \frac{K}{1 + 2 \xi \frac{p}{\omega_0} + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ 其中$\xi$称为阻尼系数，$\omega_0$为截断频率。传递函数的两个极点（如果存在）可写为以下形式： $0 = 1 + 2 \xi \frac{p}{\omega_0} + \frac{p^2}{\omega_0^2} = \frac{(p - p_1)(p - p_2)}{\omega_0^2}$ 这个二次多项式函数是否有零点取决于其判别式： $\Delta = 4 \omega_0^2 (\xi^2 - 1)$ 从而阻尼系数对这个系统有很大的影响。

阶跃响应

我们以不同的阻尼系数分别讨论其阶跃响应，因为阶跃响应最简单。

$\xi = 0$

此时系统有两个共轭的极点：$p_{1,2} = \pm j \omega_0$，输出为： $S(p) = K e_0 \left( \frac{1}{p} - \frac{p^2}{p^2 + \omega_0^2} \right)$ 在时域上有： $s(t) = K e_0 \left( 1 - \cos \omega_0 t \right) u(t)$ 即其响应为一个振荡的三角函数，周期为$\frac{2 \pi}{\omega_0}$

$0 < \xi < 1$

此时系统有两个共轭的极点：$p_{1,2} = -\xi \omega_0 \pm j \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}$。 $S(p) = \frac{K}{1 + 2 \xi \frac{p}{\omega_0} + \frac{p^2}{\omega_0^2}} \frac{e_0}{p}$ 我们设$\omega_p = \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2}, \sigma = \xi \omega$，则有： $S(p) = K e_0 \left[ \frac{1}{p} - \left( \frac{p + \sigma}{(p+\sigma)^2 + \omega_p^2} + \frac{\sigma}{(p+\sigma)^2 + \omega_p^2} \right) \right]$ 此时有： $s(t) = K e_0 \left[ 1 - \frac{e^{-\xi \omega_0 t}}{\sin \varphi} \sin \left( \omega_0 \sqrt{1-\xi^2} t + \varphi \right) \right] u(t)$ 其中$\sin \varphi = \sqrt{1 - \xi^2}, \cos \varphi = \xi$。则其输出为一个指数衰减的三角函数，周期为$\frac{2 \pi}{\omega_0 \sqrt{1-\xi^2}}$。由拉普拉斯变换的性质，我们知道$\dot s (0^+) = 0$，从而其在原点处的切线水平。

我们注意到函数的极值是也是指数衰减的，第n个极值的绝对值为$|D_n| = K e_0 \exp \left[ - \frac{\xi \pi}{\sqrt{1 - \xi^2}} n \right]$。我们定义$D_{n\%} = \left| \frac{D_n}{K e_0} \right|$。从而$D_{n\%} = (D_{1\%})^n = \exp \left[ - \frac{\xi \pi}{\sqrt{1 - \xi^2}} n \right]$。这个值可以用来确定系统的阻尼系数。

$\xi = 1$

此时系统有两个相同的极点：$p = - \omega_0$。输出为： $S(p) = K e_0 \left[ \frac{1}{p} - \frac{1}{p + \omega_0} - \frac{\omega_0}{(p + \omega_0)^2} \right]$ 时域输出为： $s(t) = K e_0 \left[ 1 - \exp (-\omega_0 t) - \omega_0 t \exp ( - \omega_0 t ) \right] u(t)$ 系统不存在振荡。

$\xi > 1$

此时系统有两个实极点：$p_{1,2} = - \xi \omega_0 \pm \omega_0 \sqrt{\xi^2 - 1}$。我们设$\omega_a = \omega_0 \sqrt{\xi^2 - 1}, \sigma = \xi \omega$，有： $S(p) = K e_0 \left[ \frac{1}{p} - \left( \frac{p + \sigma}{(p + \sigma)^2 - \omega_a} + \frac{\sigma}{(p + \sigma)^2 - \omega_a} \right) \right]$ 时域上： $s(t) = K e_0 \left[ \frac{e^{-\xi \omega_0 t}}{\sqrt{\xi^2 - 1}} \left( \sqrt{\xi^2 - 1} \cosh (\omega_a t) + \xi \sinh (\omega_a t) \right) \right] u(t)$

此时我们注意到这个系统也可以拆成两个一阶的系统： $H(p) = \frac{K}{1 + \frac{2 \xi}{\omega_0} p + \frac{p^2}{\omega_0^2}} = \frac{K \omega_0}{(p - p_1)(p - p_2)} = \frac{K}{(1 + \tau_1 p)(1 + \tau_2 p)}$

若有$\tau_1 \gg \tau_2$，则我们可以有两种方法来用一阶系统逼近：

设$\tau_2 = 0$，则$H(p) = \frac{K}{1 + \tau_1 p}$；
令$\tau_2 \to 0$，则$\frac{1}{1 + \tau_2 p} \sim 1 - \tau_2 p \sim e^{- \tau_2 p}$ 此时$H(p) = \frac{K}{1 + \tau_1 p} e^{-\tau_2 p}$。这个系统称为迟滞一阶系统。

响应时间与阻尼系数

我们知道，系统的响应时间可由到达其稳定输出5%左右的时间来表示。二阶系统的响应时间和其阻尼系数之间存在较为复杂的关系。

有两处特殊的值需要注意：

$\xi = 1$，此时系统处于临界状态，响应时间在不振荡的条件下最短，$t_{5\%} = \frac{4.744}{\omega_0}$；
$\xi = 0.69$，此时系统略有振荡，但响应时间最短，$t_{5\%} = \frac{2.859}{\omega_0}$。实际上，此时有$D_{1\%} = 4.99999\%$。

图像表示

和阶跃响应相同，我们也要按照阻尼系数来分类讨论。有： $H(p) = K (1 + \frac{2\xi}{\omega_0} p + \frac{1}{\omega_0^2} p^2)^{-1} \implies H(j\omega) = K (1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + 2 j \frac{\xi \omega}{\omega_0})^{-1}$ 从而 $\left\{ \begin{aligned} A(\omega) &= \frac{K}{\sqrt{(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2})^2 + 4 \frac{\xi^2 \omega^2}{\omega_0^2}}} \\ \varphi(\omega) &= - \arg \left[ 1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + 2 j \frac{\xi \omega}{\omega_0} \right] \end{aligned} \right.$

先来看辐角。对于辐角来说，一个重要的问题是这个复数的实部的符号是不确定的，从而反三角函数$\arctan$的计算比较困难。我们把这个复数乘以虚数单位$j$，相当于旋转了$90^\circ$，同时把不确定符号的实部变为虚部，而恒正的虚部变为实部。从而我们有： $\varphi(\omega) = - \frac{\pi}{2} + \arctan \left( \frac{\omega_0^2 - \omega^2}{2 \xi \omega \omega_0} \right)$

再来看增益。我们有： $\begin{aligned} G_{dB} (\omega) &= 20 \log A \\ &= 20 \log K - 10 \log \left[ \left( 1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} \right)^2 + 4 \frac{\xi^2 \omega^2}{\omega_0^2} \right] \\ \end{aligned}$ $\omega = \omega_0$时： $G_db (\omega_0) = 20 \log K - 20 \log \frac{1}{2 \xi}$ 我们记$Q = \frac{1}{2 \xi}$，称为品质因数。

我们继续研究增益的极值。对于一阶系统，增益是单调的，但是对二阶系统，其可能出现极大值。我们令$f(\omega) = (1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2})^2 + 4 \frac{\xi^2 \omega^2}{\omega_0^2}$。这个函数是增益的分母，从而我们需要知道它的极小值。求导可得： $f^\prime (\omega) = 4 \frac{\omega}{\omega_0} (-1 + \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + 2\xi^2)$ 从而其在$\omega = \omega_0 \sqrt{1 - 2 \xi^2}$处取最小值。

如果$\xi < \frac{\sqrt{2}}{2}$，则其存在共振现象，共振频率为$\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - 2 \xi^2}$。此时其增益为 $G_{dB} = 20 \log K - 10 \log \left[ 4\xi^2 + 4\xi^2 (1 - 2\xi^2) \right] = 20 \log K + 20 \log \frac{1}{2\xi \sqrt{1 - \xi^2}}$ 我们定义$Q_S = \frac{1}{2\xi \sqrt{1 - \xi^2}}$，称为共振因子。

最后，我们研究一下渐近线。渐近线的研究方法和一阶系统相同。

$\omega \to 0$时，增益为一根水平直线，值为$20 \log K$。$\varphi(\omega) = 0$。
$\omega \to \infty$时，增益为一根斜率为$-40$的直线。$\varphi(\omega) = - \pi$。
两根渐近线相交于$\omega_0$，$\varphi(\omega_0) = -\frac{\pi}{2}$。

总结一下要点：

波德图：
- 渐近线见上；
- $\omega_0$处，增益值为$20 \log K + 20 \log Q$，辅角为$\varphi(\omega_0) = -\frac{\pi}{2}$；
- 如果$\xi < \frac{\sqrt{2}}{2}$，则存在共振，此时波德图上有极大值点：$(\omega_0 \sqrt{1 - 2 \xi^2}, 20 \log K + 20 \log Q_S)$。
尼柯尔斯图：
- 通过两个点：共振频率（共振频率小于截止频率，其辐角大于$- \frac{\pi}{2}$）、截止频率；
- 两条渐近线：$\omega \to 0, \varphi = 0, G_{dB} = 20 \log K$，$\omega \to +\infty, \varphi = - \pi, G_{dB} = - \infty$。
奈奎斯特图：
- 通过两个点：共振频率（第四象限，模长大于$K$）、截止频率（交于虚轴负半轴，交点为$(KQ,0)$）；
- 起止点：从$\omega \to 0, (K, 0)$出发，至$\omega \to \infty, (0, 0)$结束