介质中的电磁波 Ⅱ

一年以前，我们利用经典电子模型简单介绍并推导了介质中的电磁波。 本文将进一步利用半量子理论给出介质中电磁波的更多性质。

经典理论：自由电子和束缚电子

电位移和磁场强度向量

我们在此前的讨论中提到过电位移向量，本部分将进一步引入磁化强度向量。

定义电位移（Electric displacement）向量为： \(\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \epsilon \vec E\) 磁场强度向量为： \(\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M = \frac{\vec B}{\mu_0 \mu}\) 其中$\vec P$为极化向量： \(\vec P = \sum e \vec X\) 而$\vec M$为磁化强度向量

在非铁磁体性材料中，磁化强度接近零，而$\mu \approx 1$，从而我们几乎不会使用磁场强度向量。

利用这两个向量，麦克斯韦方程组可改写为： \(\begin{aligned} \nabla \cdot \vec D & = \rho \\ \nabla \cdot \vec B & = 0 \\ \nabla \times \vec E & = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H & = \vec j + \frac{\partial}{\partial t} \vec D \end{aligned}\)

电子的德鲁德模型

德鲁德模型是关于自由电子和束缚电子的一个模型，其与一年前提到的耦合电子模型基本相同，只是增加了自由电子。 此时电子的运动方程为： \(\def\d{\mathrm{d}} \frac{\d^2 \vec x}{\d t^2} + \gamma \frac{\d \vec x}{\d t} + \omega_0^2 \vec x = - \frac{e}{m_e} \vec E\) 其中$\gamma$是表示电子与其他粒子碰撞而产生的阻尼系数，$\omega_0$是谐振子的固有频率，表示电子被原子核吸引产生的库仑力。 对自由电子，应取$\omega_0 = 0$，左侧的$\omega_0^2 \vec x$项应被省略。

该方程的解为： \(\begin{aligned} \vec x &= \frac{- e / m_e}{(\omega_0^2 - \omega^2) + i \gamma \omega} \vec E_0 \exp [i \omega t] \\ &= - \frac{e}{m_e} \left( \frac{\omega^2_0 - \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} - i \frac{\gamma \omega}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2} \right) \vec E_0 \exp[i \omega t] \end{aligned}\)

一个电子对极化向量的贡献为： \(\vec p = -e \vec x\) 考虑到分子内部具有不同类型的电子或带电粒子，我们需要对一系列粒子的极化向量加权求和。 最后求出极化向量并得出相对介电常数$\epsilon$为 \(\epsilon = 1 + \sum_j N_j \frac{e_j^2}{m_j \epsilon_0} \frac{1}{\omega_{0,j}^2 - \omega^2 - i \gamma_j \omega} + \frac{\omega_p^2}{-\omega^2 - i \gamma_\text{自由} \omega}\)

考虑到$\epsilon$并非一个常数，我们可称其为（相对）介电函数。

介质中的波动方程

利用改写的麦克斯韦方程组我们可以得出以下波动方程：

在绝缘（$\vec j = 0$）且电中性（$\nabla \cdot \vec E = 0$）的介质中的电场的波动方程为： \(\nabla^2 \vec E - \epsilon_0 \epsilon \mu_0 \mu \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0\)

在导电（$\vec j = \sigma \vec E$）且电中性的介质中的电场的波动方程为： \(\nabla^2 \vec E - \epsilon_0 \tilde \epsilon \mu_0 \mu \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0\) 其中 \(\tilde \epsilon = \epsilon + i \frac{\sigma}{\epsilon_0 \omega}\) 称为广义介电函数。

注意到介质导电正是其中的自由电荷运动导致的，我们可以使用前一节求出的值来对应该方程中的系数。 \(\tilde \epsilon = \underbrace{1 + \sum_j N_j \frac{e_j^2}{m_j \epsilon_0} \frac{1}{\omega_{0,j}^2 - \omega^2 - i \gamma_j \omega}}_{\epsilon = 1 + \chi} + \underbrace{\frac{\omega_p^2}{-\omega^2 - i \gamma_\text{自由} \omega}}_{i \frac{\sigma}{\epsilon_0 \omega}}\)

无论对于以上哪种介质，我们都可以写出其色散关系：

介质中电磁波的色散关系为： \(\vec k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \tilde \epsilon \mu \iff \vec k = \frac{\omega}{c} \tilde n\) 其中 \(\tilde n^2 = \tilde \epsilon \mu = n - i \kappa\) 称为光学系数，其实部即为折射系数，虚部的相反数¹称为消光系数。

我们通常以振幅衰减至原有的$e^{-1}$倍或能量衰减至原有的$e^{-2}$倍作为指数衰减的特征长度或特征时间的标志。 因此在消光系数为$\kappa$的材质中，电磁波的穿透深度为： \(\delta = \frac{c}{\omega \kappa} = \frac{\lambda}{2\pi\kappa}\)

半经典理论：能级模型

我们此前的理论并没有考虑电子的量子特性，因此不能对激光等现象做出合理的解释。 本节中我们将引入能级理论来进一步细化我们的模型。

量子数与能量

求解薛定谔方程非常复杂，幸而我们可以使用几个参数来表示电子的能量。

电子在原子中的能量状态可以由三个量子数表示：

1. 主量子数$n$（Principal quantum number）表示电子距离原子核的距离，即其所在的层数；
2. 轨量子数$l \in [0, n-1]$（Orbital quantum number，也称角量子数）表示电子在电子层中的子层数；
3. 磁量子数$m \in [-l, l]$（Magnetic quantum number）表示电子所在的轨道数。

电子只能在相邻的状态间转移，即 \(\Delta l = \pm 1, \quad \Delta m = -1,0,1\)

利用三个量子数，我们可以表示出电子的能量

电子的能量由两个部分组成：在原子产生的势阱中的势能$E_n$，这是主量子数的函数；和绕原子核转动产生的动能$E_l$，这是轨量子数的函数。即 \(E = E_n(n) + E_l(l) = - V_0 + (n + \frac{1}{2}) h \nu + \frac{l(l+1)\hbar^2}{I}\) 其中$I$是转动惯量。

主量子数改变而放出或吸收的光子通常位于近红外区，而轨量子数改变放出或吸收的光子通常位于远红外和微波区。

对于原子和分子，这些能量表现出强烈的分立特征。 而对于成分复杂的固体，这些能量则会形成连续的能带。 固体中越多的电子能够从电子数量较多的能带（称为价带）进入尚未被大量电子占用的能带（称为导带），其导电性就越好。

电子跃迁

我们接着考虑吸收光子导致的跃迁和跃迁导致的光子辐射。

考虑只有两个能级的系统，能级二的能量更高，且两能级能量之差满足 \(\Delta E = E_2 - E_1 = h \nu\) 设其上的电子个数为$N_1, N_2$。 轨道上的电子和光子之间存在三种交互：

1. 自发辐射（Spontaneous emission）：位于更高能级的电子自发地向更低能级跃迁，向随机方向发出频率为$\nu$的光子。设单个电子单位时间内发生该跃迁的概率为$A_{21}$。
2. 吸收（Absorption）：位于更低能级的电子吸收一个光子的能量并跃迁至更高能级。显然，单个电子发生跃迁的概率近似正比于光子的个数，从而正比于入射光的能量，单个电子单位时间内发生跃迁的概率为 \(W_{12} \propto u(\nu) \iff W_{12} = B_{12} \cdot u(\nu)\)
3. 受激辐射（Stimulated emission）：位于更高能级的电子在光子的刺激下跃迁至低能级，同时发出一个完全相同的光子，单个电子单位时间内发生跃迁的概率为 \(W_{21} \propto u(\nu) \iff W_{21} = B_{21} \cdot u(\nu)\)

考虑到电子的数量守恒，列出微分方程可得： \(\frac{\d N_2}{\d t} = - \frac{\d N_1}{\d t} = B_{12} u(\nu) N_1 - (B_{21} u(\nu) N_2 + A_{21} N_2)\)

对于热力学平衡的情况，电子数量对时间的导数为零，从而可得： \(u(\nu) = \frac{A_{21} / B_{21}}{\frac{B_{12} N_1}{B_{21} N_2} - 1}\) 考虑电子数量服从玻尔兹曼分布，即： \(\frac{N_2}{N_1} = \exp \left[- \frac{E_2 - E_1}{kT} \right]\) 代入可得 \(u(\nu) = \frac{A_{21} / B_{21}}{\frac{B_{12}}{B_{21}} \exp \left[ \frac{h \nu}{kT} \right] - 1}\) 最后注意到根据普朗克黑体辐射公式，发射光的强度为 \(u(\nu) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{\exp[\frac{h\nu}{kT}] - 1}\) 我们可得出 \(B_{12} = B_{21}, \quad \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\)

因此我们只需要两个系数$A,B$即可描述原子中电子在电磁场下的状态变化，这两个系数称为爱因斯坦系数。

多色光情况

对于多色光，并非所有能量都能被用于供电子跃迁。 此时，我们需要为与光子交互的项上乘一个系数$g(\nu)$然后在谱上积分，变为： \(\frac{\d N_2}{\d t} = \int_0^\infty (B \textcolor{red}{g(\nu)} u(\nu) N_1 - B \textcolor{red}{g(\nu)} u(\nu) N_2) \d \nu - A N_2\)

其中$g(\nu)$是表示能级跃迁对不同频率入射光的响应一个归一化的函数，满足 \(\int_0^\infty g(\nu) \d \nu = 1\)

对于入射光为（准）单色光且频率与跃迁所需频率相同的情况，有： \(u(\nu) = u_0 \delta(\nu - \nu_0)\) 积分中只剩下$u(\nu_0) \cdot g(\nu_0)$，由于傅里叶变换后的信号满足 \(g(\nu_0) \Delta \nu_0 = 1\) 所有的$g(\nu)$都可以用$\frac{1}{\Delta \nu_0}$来代替，$\Delta \nu_{0}$是该谱的半峰全宽（full width at half maximum，FWHM）。

此时单个电子发生跃迁的实际概率（记为$W$）为： \(W = u(\nu_0) g(\nu_0) B = \frac{u(\nu_0)}{\Delta \nu} B\)

能量分析

考虑将上文提到的介质置于坐标$z$与$z+\d z$之间，然后沿$z$正方向发射光子，统计穿过介质后光子的个数（即能量）。 由于自发辐射的光子的方向是随机的，我们不计入这一部分光子。 有 \(\frac{\d u}{\d t} = \frac{\d u}{\d z} \frac{\d z}{\d t} = (h \nu B N_2 - h \nu B N_1) u \frac{\d z}{\d t}\) 考虑到波速： \(z = \frac{c}{n} t \iff \frac{\d z}{\d t} = \frac{n}{c}\) 从而 \(\frac{\d u}{\d t} = \frac{n h \nu B}{c}(N_2-N_1) u\)

我们可以使用一个系数来表示该材质的特点。

若$\alpha$满足： \(- \alpha u = \frac{\d u}{\d t}\) 则称其为该介质的衰减系数。 二能级材料在单色光下的衰减系数为 \(\alpha(\nu) = \frac{n h \nu B}{c} g(\nu) (N_1 - N_2)\)

如果通过外力（泵浦光）使得材质中位于高能级的电子数大于位于低能级的，则可能使得电磁波在通过该介质后强度不降反增。 这就是激光器的原理。

介质与激光理论

本节中我们将介绍利用活性介质和法布里-佩罗谐振腔产生激光的基本原理。

谐振腔

在光学课程中，我们初步介绍了法布里-佩罗谐振腔——即两面放置在一定距离$L$间的镜子。

谐振腔的模式

若谐振腔中发生共振，则其中的一个单色波一定为驻波，记 \(E(z,t) = f(z) \chi(t)\) 则根据达朗贝尔方程和两端电场为零的边界条件，容易解出： \(\chi(t) = A e^{-i (\omega t + \varphi)}, \quad f(z) = f_0 \sin(k_p z)\) 其中 \(k_p = p\frac{\pi}{L}, \quad p \in \mathbb N_*\)

这意味着能够发生共振的电磁波的频率一定是一个定值的整数倍，这些频率称为谐振腔的模式。

谐振腔中一个能够发生共振的波矢（或波长、频率等）称为该谐振腔的模式（Mode）。 一维的谐振腔的模式为 \(k_p = p \frac{\pi}{L} \iff \nu_p = p \frac{c}{2nL} \iff \lambda_p = \frac{2nL}{p}\) 相邻两个模式的频率差称为模式间距。

谐振腔的损耗

考虑对振幅的反射和透射系数分别为$r_1, r_2, t_1, t_2$的两面镜子构成的谐振腔，光线从一号镜子射入，透过镜子变为$E_a$，然后被介质损耗，变为$E_b$，被二号镜子分为透射部分$E_\text{out}$和反射部分$E_c$，再被介质损耗为$E_d$，则： \(\begin{aligned} E_a &= t_1 E_\text{in} + r_1 E_d \\ E_b &= e^{ikL} E_a \\ E_c &= r_2 E_b \\ E_d &= e^{ikL} E_c \\ E_\text{out} &= t_2 E_b \end{aligned}\) 解得 \(E_\text{out} = t_1 t_2 E_\text{in} e^{ikL} \frac{1}{1 - r_1 r_2 e^{2ikL}}\)

首先假设$k$只有实部，则介质不发生能量变化，此时根据相位一致的原理，应有 \(k = p \frac{\pi}{L}\)

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现在考虑能量的损耗。 假设电磁波发生衍射和被介质吸收两种损耗，则经过两次反射并到达开始点的电磁波的能量为： \(u(2L) = u_0 e^{-(\alpha_\text{衍} + \alpha_\text{吸})2L} (r_1 r_2)^2 = u_0 e^{-(\alpha_\text{衍} + \alpha_\text{吸} + \frac{1}{L} \ln (\frac{1}{r_1r_2}))2L}\) 我们可以定义一个新的常量来表示它。

谐振腔的等效损耗为： \(\alpha = \alpha_\text{衍} + \alpha_\text{吸} + \frac{1}{L} \ln (\frac{1}{r_1r_2})\) 它表示了衍射、吸收和反射时产生的损耗。

谐振腔的品质因子

我们使用谐振腔的品质因子来衡量其保存能量的能力。

谐振腔的品质因子定义为其包含的能量与损耗的能量之比： \(Q_p = 2 \pi \frac{\text{包含的能量}}{\text{损耗的能量}} = \frac{2\pi}{T} \frac{u}{|\frac{\d u}{\d t}|}\) 其中$T$是电磁波往返所需的时间。

其有几个等价的表示方法： \(\begin{aligned} Q &= \frac{2\pi}{T} \frac{u}{|\frac{\d u}{\d t}|} \\ &= \frac{2\pi}{T} \frac{n}{c \alpha} \\ &= \frac{2\pi}{\lambda_p} \frac{nL}{\alpha_\text{吸}L + \alpha_\text{衍}L - \ln (r_1 r_2)} \\ \end{aligned}\)

利用品质因子，我们可以求出光子的平均存在时间与路程： \(\tau_p = \frac{Q_p}{\omega_p}, \quad L_p = \frac{c}{n} \tau_p = \frac{1}{\alpha}\)

活性介质

我们已经知道，介质中的损耗和爱因斯坦系数与能级电子数差距密切相关： \(\alpha = \frac{n h \nu B}{c} g(\nu) \Delta N\)

当且仅当$\Delta N < 0$，即高能级的电子数大于低能级的时，介质中的损耗才能为负数，即介质实际上放大了电磁波的能量。 此时，我们称损耗系数的相反数为放大系数或增益$\beta$。

若希望在谐振腔中产生激光，则活性介质产生的增益必须不小于其中的损耗。 这个条件称为阈值条件，此时的增益称为增益阈值（Lasing threshold），记为$\beta_s$。

1. 根据平面谐波的指数约定不同，此处可以为虚部或虚部的相反数。 ↩