梁的模型

本文中我们将解决梁的应力和形变的问题。

梁的内应力

本节中我们将借助圣维南原理计算梁的内力。 首先，按照定义，我们选择一个横截面$\Sigma(s_0)$。 根据约定，梁的上半部分向下半部分的作用力是内应力，因此我们只研究下半部分的平衡。 从而，我们知道该平面的法向量（朝向外）正好与该点处切向量的方向相反： \(\vec n = - \vec x_1\) 其应力矢量为： \(\vec T(P, \vec n) = -\vec T(P, \vec x_1) = \begin{pmatrix} -\sigma_{11} \\ -\sigma_{12} \\ -\sigma_{13} \\ \end{pmatrix}\)

因此该平面上受到的力主矢和主矩都可以使用积分计算出来 \(\def\d{\mathrm d} \vec R(s_0) = \int_\Sigma \vec T(P, \vec n) \d P, \quad \vec M(s_0) = \int_\Sigma \vec{GP} \times \vec T(P, \vec n) \d P\) 进行分解后可得主矢在各个方向上的分量为 \(N = - \int_\Sigma \sigma_{11} \d P,\ T_2 = - \int_\Sigma \sigma_{12} \d P,\ T_3 = - \int_\Sigma \sigma_{13} \d P\) 主矩为 \(\begin{aligned} M_t &= \int_\Sigma x_3 \sigma_{12} - x_2 \sigma_{13} \d P \\ M_{f2} &= - \int_\Sigma x_3 \sigma_{11} \d P \\ M_{f3} &= \int_\Sigma x_2 \sigma_{11} \d P \end{aligned}\)

我们又知道在受点负载的位置，内力应当等于外力，因此可以得到偏微分方程的边界条件。 利用圣维南定律进行计算时，需要使用到这些边界条件。

圣维南定律

圣维南定律，或圣维南假设，是一条关于梁的内应力的假设。

在非奇点处，梁所受的应力只与内力旋量（或称内力的主矢和主矩）有关。

此处奇点是指梁的性质不连续的点，如受到集中力（包括约束力）的点或横截面积突变的点。

我们能够利用这条定律来求解应力，只需要先利用外力解出内力，然后再用内力解出应力即可。 已知外力求解应力的问题称为圣维南问题。

圣维南问题

利用圣维南定律，我们可以解决圣维南问题：

设一根由均为各向同性的线性弹性材料组成的、横截面维持不变的梁只在两端承受负载$[F]$和$[F_0]$，且$[F] + [F_0] = [0]$，试寻找一静力学许可的应力场$\sigma$，满足贝尔特拉米相容性方程。

由于梁只在一个方向上受应变（从而受应力），其应力张量的右下角为零，我们只需求解三个未知数即可： \(\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & 0 & 0 \\ \sigma_{13} & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

梁的法向应力和切向应力（剪力）都可以利用该矩阵表示出来。 \(\sigma_N = \sigma_{11},\ \vec \tau = \sigma_{12} \vec x_2 + \sigma_{13} \vec x_3\)

圣维南问题的方程可写为： \(\begin{aligned} \partial_j \sigma_{ij} &= 0 & \text{（局部平衡方程）} \\ \partial_{ll} \sigma_{ij} + \frac{1}{1+\nu} \partial_{ij} \sigma_{kk} &= 0 & \text{（相容性方程）} \\ \end{aligned}\)

而边界条件包括上面提到的在两个底面处的外力边界条件，还有一条侧面的边界条件： \(\sigma_{ij} n_{j} = 0 \quad \forall P \in \Sigma_\text{侧}\)

圣维南问题的解

我们不加证明地给出圣维南问题的解。

圣维南问题的解为： \(\begin{aligned} \sigma_{11}(x_1, x_2, x_3) &= - \frac{N(x_1)}{S} + \frac{M_{f3}(x_1)}{J_2} x_2 - \frac{M_{f2}(x_1)}{J_3} x_3 \\ \sigma_{12}(x_1, x_2, x_3) &= - \frac{M_t}{I} \frac{\partial \Phi}{\partial x_3} \\ \sigma_{13}(x_1, x_2, x_3) &= \frac{M_t}{I} \frac{\partial \Phi}{\partial x_2} \end{aligned}\) 其中： \(J_i = \int_\Sigma x_i^2 \d S, \quad I = 2 \int_\Sigma \Phi \d S\) $\partial \Sigma$表示$\Sigma$的边界。 $\Phi$是一个满足以下条件的标量函数，称为应力函数（Stress function）： \(\begin{aligned} \nabla^2 \Phi(x_2, x_3) + 2 &= 0 & \forall P \in \Sigma \\ \Phi(x_2, x_3) &= 0 &\forall P \in \partial \Sigma \end{aligned}\) 这个函数通常使用数值方法求出。

不出意料地，尽管圣维南问题的约束条件众多，得出的结论能够很好地应用于许多并不满足该要求的梁上。

以半径为$R$的圆柱形梁为例，一个满足条件的$\Phi$函数为： \(\Phi(r, \theta) = \frac{1}{2} (R^2 - r^2)\) 而应力为 \(\sigma_{1r} = 0,\quad \sigma_{1\theta} = -\frac{M_t}{I}r\) 其中 \(I = \frac{\pi R^4}{2}\)
又其剪力可写为 \(\vec \tau = \sigma_{1r} \vec e_r + \sigma_{1\theta} \vec e_\theta\) 从而圆上最大的剪力为 \(|\vec \tau| = |M_t| \times \frac{2}{\pi R^3}\)

对于圆环形梁，相似的步骤给出： \(I = - \frac{\pi}{2}\left( R_\text{外}^2 - R_\text{内}^2 \right),\ |\vec \tau|_\text{max} = |M_t| \times \frac{2R_\text{外}}{\pi \left( R_\text{外}^4 - R_\text{内}^4 \right)}\)

剪力与特解

上文中给出的解需要求出一个$\Phi$函数才能给出，对一些特别的情况，我们可以更方便地给出解。

通过将一个横截面分为连续的两块，并其边界上应用局部平衡方程，可以得到以下关于剪力和应力的命题。

设梁受到沿$\vec x_2$方向的剪力$\vec T_2$，则可用一沿$\vec x_3$轴平行的直线$\Gamma$将横截面分为两个部分$x_2 \le a$和$x_2 > a$。在该平面上，由剪力$\vec T_2$引起的应力为： \(\sigma_{12}^{T_2} = \frac{T_2}{J_2} \frac{\mu_2(x_2)}{b(x_2)},\ \sigma_{13}^{T_2} = 0\) 其中$\mu_2(x_2)$表示$x_2 \le a$部分的一次面积矩（静矩），定义为 \(\mu_2 (x_2) = \int_\Sigma x_2 \d S\) 而$b(x_2)$表示该横截面的宽度。

设矩形梁对齐坐标轴放置，长为$H$，沿$\vec x_2$轴；宽为$b$。 其受到沿$\vec x_2$方向的剪切内力$\vec T_2$，试计算其应力的剪切部分。
根据上文的命题有 \(\sigma_{12}^{T_2} = \frac{T_2}{J_2} \frac{\mu_2(x_2)}{b(x_2)},\ \sigma_{13}^{T_2} = 0\) 依次计算可得： \(\begin{aligned} b(x_2) &= b \\ \mu_2(x_2) &= \int_{-\frac{H}{2}}^{x_2} x b \d x = \frac{b}{2} \left( x_2^2 - \frac{H^2}{4} \right) \\ J_2 &= \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\int_{-\frac{H}{2}}^{\frac{H}{2}} x_2^2 \d x \d y = \frac{bH^3}{12} \end{aligned}\) 从而 \(\sigma_{12}^{T_2} = \frac{6 T_2}{b H} \left[ \left( \frac{x_2}{H}\right)^2 - \frac{1}{4} \right]\) 最大剪应力自然为 \(|\tau|_\text{max} = \frac{3T_2}{2bH}\)

梁的断裂判据

注意到梁的应力张量具有非常特殊的形式，我们可以简化梁的断裂判据。

（冯·米塞斯判据） 延性材料构成的梁的冯·米塞斯判据为： \(\sigma_\text{VM} = \sqrt{\frac{3}{2} s_{ij} s_{ij}} = \sqrt{\sigma_{11}^2 + 3 (\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2)} = \sqrt{\sigma_N^2 + 3 \tau^2} \le \sigma_e\)

（朗肯判据） 脆性材料构成的梁的朗肯判据为： \(\sigma_\text{I} = \frac{1}{2}\left( \sigma_{11} + \sqrt{\sigma_{11}^2 + 4 \tau^2} \right) \le \sigma_{r}\)