雷诺数与无量纲量

雷诺数

本节中我们将研究流体力学中的一个重要的无量纲量：雷诺数。

无量纲量

考虑典型的二阶线性系统的方程： \(\ddot x(t) + 2 \xi \omega \dot x(t) + \omega^2 x(t) = 0\) 这个方程中具有两个无量纲的量：阻尼系数$\xi$和固有频率$\omega$。 对于任何一个二阶线性系统，无论是弹簧振子还是RLC电路，只要其系统中的物理量和标准形式中的无量纲量对应，就可以非常方便地进行求解。 除此之外，如果两个系统的无量纲量相同，那么即使其系统大相径庭，微分方程的解也是完全一样的，因此系统总是具有相同的表现。

在流体力学中，我们也有一个经典的微分方程：纳维尔-斯托克斯方程： \(\def\pd#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \pd{\vec U}{t} + (\vec U \cdot \nabla) \vec U = \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec U + \vec f\) 如果我们也能从中找到一个无量纲量，那么所有该方程的解都可以用该无量纲量来表示，与解相关的参数也可以用这个量来表示，这无疑能极大地简化研究难度。

在流体力学中，我们主要关心四个量纲： 质量$M$、长度$L$、时间$T$和温度$\Theta$。 对不可压缩的流体，前三个最为重要。

雷诺数的构造

注意到N-S方程中有两项比较特别：非线性的对流项和二阶导黏性项。 如果我们可以忽略其中一项，则可以较大地简化方程的求解。

设系统的特征长度为$l$，在量级分析中，将对位置的偏导视为除以$l$。 注意到对流项的量级为$\mathcal O (\frac{U^2}{l})$， 而黏性项的量级为$\mathcal O(\frac{\nu U^2}{l^2})$ 我们使用两者之比来表示方程的特点。

定义雷诺数为： \(\mathrm{Re} = \frac{Ul}{\nu} = \frac{\rho Ul}{\mu}\) 当雷诺数远小于$1$时，系统的对流项可忽略； 相对地，雷诺数远大于$1$是系统可视为无黏性流动的必要条件。

对量纲进行验证可发现雷诺数恰为一个无量纲量。 我们之后会对其应用进行说明。

外流的无量纲化

考虑绕某一物体的外流，设流体沿$x_1$方向流动，且物体在该方向上的最大长度为$l$，记为特征长度。 记流体的密度为$\rho$，无穷远处的流速为$\vec U_\infty$，黏度为$\mu$。

在该系统中，这四个变量足以完全表述该问题，因此一个能表述该问题的无量纲量只与这四个物理量相关。 我们尝试构造该无量纲量。

设该无量纲量为 \(\Pi = k_i \mu^{\beta_1} \rho^{\beta_2} U_\infty^{\beta_3} l^{\beta_4}\) 注意到这些变量的量纲为： \([\mu] = ML^{-1}T^{-1}, \; [\rho] = ML^{-3}, \; [U_\infty] = LT^{-1}, \; [l] = L\) 可列出如下方程组： \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \end{bmatrix} = 0\) 这是一个欠定的线性系统，解为： \(\alpha \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) 从而得到一个无量纲量： \(\Pi = k \left( \frac{\rho U_\infty l}{\mu} \right)^\alpha = k \mathrm{Re}^\alpha\)

从而，我们的确可以使用雷诺数这一无量纲量来将所有外流问题同一。

外流中物体的受力

考虑外流中物体的受力，可对受力进行正交分解，与流速同向的力称为阻力（Drag），记为$D$，与其正交的力称为升力（Lift），记为$\vec L$。

按照相同的思路，我们也可以将这两个力进行无量纲化。

定义系统的阻力系数为： \(C_D = \frac{D}{\frac{1}{2} \rho U_\infty^2 S}\) 升力系数为： \(\vec C_L = \frac{\vec L}{\frac{1}{2} \rho U_\infty^2 S}\) 其中$S$是物体的特征面积。 这两个系数都只是雷诺数的函数。

不难验证，这两个系数均为无量纲量。

我们知道，具有相同形式的微分方程的解只与系统中（独立的）无量纲量有关，而我们已经找到了一个无量纲量，即雷诺数，因此这两个无量纲量必须只和雷诺数有关，因此，在N-S方程形式相同（这蕴涵几何形状相同）的前提下，它们都是雷诺数的函数。

从而，如果我们能够获取或者通过实验测定相同条件下雷诺数和力系数的关系，那么我们就可以在只知道雷诺数的情况下，使用流体的密度、流速和特征面积求出系统的升力和阻力。 更特别的，只要确保雷诺数不变，那么按一定比例缩小的模型在按照一定比例修改后的流场中能够得出和实际物体相同的结果，这就是风洞试验的理论依据。

然而，实际中，保持相同的雷诺数并不容易。 如果长度缩小至十分之一，那么在不改变流体的前提下，流速需要增大至十倍。 在风洞中，这常常意味着风速会超过声速。 此时，空气具有很强的可压缩性，因此不能继续使用N-S方程进行建模，实验结果和实际结果很可能相差甚远。

方程的无量纲化

现在我们考虑将整个N-S方程无量纲化。 首先将变量无量纲化： \(\vec U^* = \frac{\vec U}{U_\infty}, \; p^* = \frac{p}{\rho U_\infty^2}, \; \vec x^* = \frac{\vec x}{l}, \; t^* = \frac{U_\infty t}{l}\) 然后将算子无量纲化： \(\pd{}{t} = \frac{U_\infty}{l} \pd{}{t^*}, \; \nabla = \frac{1}{l} \nabla^*\) 从而我们有：

纳维尔-斯托克斯方程的无量纲形式为： \(\pd{\vec U^*}{t} + (\vec U^* \cdot \nabla^*) \vec U^* = -\nabla^* p^* + \frac{1}{\mathrm{Re}} \Delta^* \vec U^*, \quad \nabla^* \vec U^* = 0\) 该方程中只有一个参数，即雷诺数。

在外流中，其边界条件为： \(\vec U^* = 0 \; (\text{在物体边界上}), \; \vec U^* = (1,0,0) \; (\text{无穷远处})\)

内流的无量纲化

接下来考虑无限长管中的内流。 记流体的流量为$Q_v$，导管直径为$D$，记为特征长度，纵切面面积为$S$。 流体的黏度为$\mu$，密度为$\rho$。

根据上述变量不难算出平均流速为： \(U_d = \frac{Q_v}{S}\) 从而其雷诺数为 \(\mathrm{Re} = \frac{U_d D}{\nu}\)

压头损失的无量纲化

同理，我们可定义压头损失系数。

定义压头损失系数为： \(\Psi = \frac{D}{\frac{1}{2} \rho U_d^2 L} (H_1 - H_2)\) 该系数也是一个无量纲量，其值只与雷诺数有关。

我们考虑圆柱形导管中的泊肃叶流动（Poiseuille flow），系统定常且只受有势外力。

按照上一章的内容，我们知道该情况下中心轴线上流体的速度为： \(U_0 = - \frac{a^2}{4\mu}G\) 且流速和半径的关系为： \(U = U_0 \left( 1 - \frac{r^2}{a^2} \right)\) 平均流速为： \(U_d = - \frac{a^2}{8\mu} G\)

而压头损失为（设截面2在下游）： \(H_1 - H_2 = -GL = \frac{8 \mu}{a^2} U_d L\)

从而，泊肃叶流动中的压头损失系数为： \(\Psi = \frac{64}{\mathrm{Re}}\) 注意$a$是半径而$D$是直径。