雷诺数与流态

上一章中我们介绍了雷诺数，并且将N-S方程改写为雷诺数相关的形式。 这一章中，我们将进一步研究雷诺数对流体的影响。

低雷诺数流态

根据定义，雷诺数表征了对流项（惯性力）与黏性项（黏性力）之比，因此在雷诺数很低时，对流项可忽略，此时我们可以将N-S方程简化。

雷诺数较低时，流体的运动方程为： \(\def\pd#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \left\{ \begin{aligned} &\pd{\vec U}{t} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec U \\ &\nabla \cdot \vec U = 0 \end{aligned} \right.\) 该方程称为斯托克斯方程（Stokes equation），对应的流动称为斯托克斯流或蠕流（creeping flow）。

若边界条件允许，则充分发展（$t \to \infty$）的蠕流总是处于定常态（$\pd{}{t} = 0$），此时该方程可进一步改写为： \(\mu \nabla^2 \vec U = \nabla p, \quad \nabla \cdot \vec U = 0\)

蠕流相对于其他雷诺数较高的流态非常简单，然而其条件却非常严格。 注意到我们要求$Ul \ll \nu$，对水而言，常温下其运动学粘度约为$10^{-6}\ m^2/s$，其速度必须远小于该值。 这种流态通常只见于微观系统（如毛细血管）和黏度甚大的系统（如岩浆或熔岩的流动）。

高雷诺数流态

在高雷诺数下，我们可如法炮制忽略方程中的黏性项：

雷诺数较高且黏性项可忽略时，流体的运动方程为： \(\left\{ \begin{aligned} &\pd{\vec U}{t} + (\vec U \cdot \nabla) \vec U = - \frac{1}{\rho} \nabla p \\ &\nabla \cdot \vec U = 0 \end{aligned} \right.\) 该方程称为欧拉方程。

相较于斯托克斯方程，欧拉方程引入了一个非线性项，使得系统的行为变得非常复杂。

值得注意的是，雷诺数高是忽略黏性项的必要不充分条件，这是因为黏性项和流速的梯度高度相关。 如果流动中存在速度梯度非常大的区域，那么该区域的黏性项就不可忽略。

这又导致了一个新的问题，即黏性项被忽略时的边界条件问题。 我们只是假设黏性项可被忽略，而并非完全假设流体是无黏性的。 因此，在流体的边界处，其依然必须遵守无滑移条件，即边界点处的速度必须和界面相同。 然而，若使用欧拉方程对流体进行建模，则该流体不遵守无滑移条件。 因此，在界面附近，流体的速度梯度会非常巨大，这会导致黏性项不能被忽略。 为此，我们引入边界层的概念来解决这一问题。

边界层

边界层（boundary layer，又称附面层）是在雷诺数较高的流态下，流体中紧贴界面的部分。 即使雷诺数趋于无穷，该层中流体的黏性仍不可忽略。

在附面层以外的区域，我们可以直接使用无黏性的模型。

边界层的厚度$\delta$通常极小，以飞机机翼为例，其厚度常在厘米至毫米的数量级上。 且当雷诺数趋于无穷大时，边界层厚度趋于无穷小。 雷诺数适中时，边界层中的流动是层流；而当雷诺数高达$10^6$时，边界层中也会出现湍流。

边界层是为了求解模型简单而人工定义的数学模型，因此其边界可以任意选择，习惯上选择距离界面尽量近而不致于影响模型准确性的位置，以降低黏性的影响。 一般情况下，附面层的边界与流线重合，这是为了避免流体粒子穿过边界而相互影响。 选择流线作为附面层的边界会导致附面层最终脱离流体中的界面，并向无穷远处延伸。

如果流体中的物体不按流线型设计，则附面层会在离开物体前从物体表面上脱离。 这种提前脱离的边界边界将流体分为三个部分： 附面层外的无黏性区，界面附近的附面层，以及边界延长线包围的区域，称为尾流。

流态变化

随着雷诺数的上升，流体的“稳定性”逐渐下降。

以流体中的圆柱体为例 雷诺数在$1$左右时，流体仍能形成较稳定的层流； 雷诺数在$10$左右时，尾流中出现尾涡； 雷诺数在$50$左右时，尾涡的稳定性丧失并脱落，在$150$左右时形成卡门涡街； 雷诺数在$10^3$至$10^4$左右时，尾流发生转捩，从而出现湍流； 雷诺数在$10^6$左右时，附面层发生转捩，从而出现湍流。

射流

二维附面层的定量表述

我们接下来研究如何对附面层进行定量的描述。

普朗特方程

我们考虑二维空间中的一个长度为$l$的表面附近的附面层，厚度为$\delta$。 设该表面沿$x$轴放置，流速与其同向，大小为$U$，$y$轴与其正交，指向平面之外。 设流体为定常流动。

可估计几个重要物理量和算子的数量级： \(U_x = U, \; \pd{}{x} \sim l^{-1}, \; \pd{}{y} \sim \delta^{-1}\)

代入流体不可压缩的等式，可得： \(\pd{U_x}{x} + \pd{U_y}{y} = 0 \implies U_y \sim \frac{\delta}{l} U\)

然后考虑动量方程，先考虑在$x$轴上的投影： \(U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}\) 注意到黏性项第一项的数量级为： \(\nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} \sim \nu \frac{U}{l^2}\) 显著低于其他项，因此可忽略此项，得到： \(U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}\) 左侧两项的数量级为$\frac{U^2}{l}$，而右侧黏性项的数量级为$\frac{\nu U}{\delta^2}$，等式两侧的数量级相等，因此我们可得： \(\frac{U^2}{l} \sim \frac{\nu U}{\delta^2} \implies \frac{\delta}{l} \sim \sqrt{\frac{\nu}{Ul}} = \sqrt{\mathrm{Re}^{-1}}\) 这可说明$\delta \ll l$。 另一方面，我们可求出压强的数量级： \(\frac{p}{\rho l} \sim \frac{U^2}{l} \implies p \sim \rho U^2\)

考虑其在$y$轴上的投影： \(U_x \pd{U_y}{x} + U_y \pd{U_y}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{y} + \nu \frac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}\) 左侧两项的数量级为$\frac{\delta U^2}{l^2}$，黏性项的数量级分别为$\frac{\nu\delta U}{l^3}$和$\frac{\nu U}{\delta l}$，压强项为$\frac{U^2}{\delta}$。 数量级分析说明其他四项显著小于压强项，从而方程可写为： \(\frac{1}{\rho} \pd{p}{y} = 0\)

这就给出了附面层的方程：

附面层的流动可由以下方程表述： \(\left\{ \begin{aligned} &U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = - \frac{1}{\rho} \pd{p}{x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} \\ & \pd{p}{y} = 0\\ &\nabla \cdot \vec U = 0 \end{aligned} \right.\) 该方程称为普朗特方程（Prandtl equation）。

利用曲线自然坐标系，我们也可以将该结果用于任何非平面的表面上。

我们在之前的分析中写道$U_y \sim \frac{\delta}{l} U$，而之后又有$\delta \ll l$，从而我们不难发现流体的切向速度远小于流向速度。

普朗特方程的边界条件

普朗特方程有三个重要的边界条件：表面条件、一致条件和初始条件。

表面条件

普朗特方程描述的是附面层中的有黏性流动，因此必须遵守无滑移条件： \(U_x(x, 0) = 0,\quad U_y(x, 0) = 0\)

一致条件

根据黏性流动的要求，附面层与无黏性区域的交界上，流体粒子的流速必须相同： \(U_x(x, \delta) = U_e(x), \quad p(x, \delta) = p_e(x)\) 方程中不含有$y$轴流速，因此使用压强表示。 下标$e$表示外界，即无黏性区。

如果只考虑附面层的流动，则$y$轴坐标可视为在正实数中取值，而非仅能在$[0, \delta]$中取值，此时边界条件可写为： \(U_x(x, \infty) \to U_e(x), \quad p(x, \infty) \to p_e(x)\)

习惯上选择实际流体速度为无黏性流体速度的$99\%$处作为附面层的起始点。

初始条件

和任何外流一样，我们也有初始条件： \(U_x(x_0, y) = U_0(y)\)

消去压力项

注意到流体中压力关于$y$坐标的偏导为零，因此附面层中的压力始终和外界施加的压力相等。

再对外流应用伯努利定理，可得： \(\def\d{\mathrm{d}} p_e + \frac{1}{2} \rho U_e^2 = C \implies \pd{p}{x} = \frac{\d p_e}{\d x} = - \rho U_e \frac{\d U_e}{\d x}\) 从而我们可以得到不含压力项的普朗特方程。

普朗特方程及其边界条件可写为： \(\left\{ \begin{aligned} &U_x \pd{U_x}{x} + U_y \pd{U_x}{y} = U_e \frac{\d U_e}{\d x} + \nu \frac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} \\ &\nabla \cdot \vec U = 0 \\ & U_x(x, 0) = 0, \quad U_y(x, 0) = 0 \\ & U_x(x, \infty) \to U_e(x) \\ & U_x(x_0, y) = U_0(y) \end{aligned} \right.\)