开放系统的能量与质量分析

本章中我们将考虑控制体积，即开放系统，中的质量和能量。

质量守恒

质量守恒是自然界中最基本的原理之一。 尽管上个世纪的科学发现证明了质量和能量之间的相互转化关系，因此质量守恒演变为质能守恒，但是在绝大多数热力学问题中，不会发生这种转化，因此我们还是只考虑质量和能量的分别守恒。

质量和体积流量

我们先研究系统的质量变化率。

某一面积元上的流动对系统质量变化率的贡献为： \(\delta \dot m = \rho \vec V \cdot \mathrm d \vec S\) 因此系统的质量变化率，即质量流量，为： \(\dot m = \iint_S \rho \vec V \cdot \mathrm d \vec S\)

其中$\delta$表示路径函数的不恰当微分，这个微分的值与路径而非状态有关。 不严格地说，这也可以视为一种变分。

上一个命题给出了质量流量的求解方法，然而，其中存在的积分却使其求解变得非常困难。 因此，我们定义平均速度：

系统的平均流速定义为系统流速在截面上的平均： \(\overline{V} = \frac{1}{S} \iint_S \vec V \cdot \mathrm d \vec S\)

出于简单考虑，之后我们不再特别指出某个速度是平均速度，而是直接使用平均速度乘面积替代速度对面积的积分。

利用平均流速，质量流量可写为： \(\dot m = \rho \overline{V} S\)

如果工质不可压缩，则其密度不变，因此我们不再需要研究密度。 我们可以直接使用体积流速替代质量流速： \(Q = V S\)

质量守恒原理

质量守恒原理指出，任意时间内进入系统的质量减去离开系统的质量等于该时间内系统的质量变化量，即： \(m_\text{in} - m_\text{out} = \Delta m\) 写成微分形式为： \(\dot m_\text{in} - \dot m_\text{out} = \frac{\mathrm d m}{\mathrm d t}\)

我们用密度对体积的积分替代质量，用上一节中流速对面积的积分替代流量，即可得到下述命题。

质量守恒原理也可写成： \(\newcommand{\oiint}{ {\subset\!\supset} \llap{\iint} } \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iiint_V \rho \mathrm d \nu + \oiint_S \rho \vec V \cdot \mathrm d \vec S = 0\) 利用散度定理可得其微分形式： \(\frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t} + \nabla \cdot \rho \vec V = 0\)

如果该系统的流动是定常的，那么质量守恒方程可写成简单的形式： \(\dot m_\text{in} = \dot m_\text{out} \iff \nabla \cdot \rho \vec V = 0\)

如果该系统的工质还是不可压缩的，那么我们可以抛掉密度： \(Q_\text{in} = Q_\text{out}\)

流动功与熵

流体不可能无缘无故地进入系统，要将流体推入系统，必须对抗系统的压强做功，因此必然会向系统输入能量，我们称这种能量为流动功。

体积为$V$，压强为$P$的流体的流动功（Flow work）定义为： \(W_\text{flow} = PV\) 两侧除以质量可得其单位质量的流动功： \(w_\text{flow} = Pv\)

和其他功不同，流动功只与状态有关，因此是状态量而非过程量，尽管其确实表征了将流体推入（或推出）系统这一过程中的能量变化，因此对不流动的系统没有意义。 由于其是状态量，流动功也被称为流动能（Flow energy）。

流动流体的总能量

对于流动而进出系统的流体，其流动功必须加以考虑。 对简单系统（势能只有重力势能）中不流动的工质，我们知道其单位质量的能量为： \(e = u + e_k + e_p = u + \frac{V^2}{2} + gz\) 在其中加入流动功即可得流动流体的能量。

单位质量流动流体的总能量为： \(\theta = w_\text{flow} + e = Pv + u + e_k + e_p = h + e_k + e_p\)

不难注意到加入流动功后总能量中自然出现了焓，这正是定义焓这一物理量的主要原因。 对于开放系统，使用焓来代替内能则可不考虑流动功，使得运算更加简捷。

如果流动的系统是均匀的，则其因为质量交换而产生的能量交换可直接写为： \(E_\text{mass} = m \theta\) 大部分情况下，势能和动能远小于焓，因此可以忽略，此时其能量交换可写为： \(E_\text{mass} = m h\)

定常流动的能量分析

在定常流动中，系统内的任何属性不随时间变化而变化，这允许我们进一步降低问题的复杂度。 更进一步地，我们假设系统的各个入口和出口处的性质都是均匀的，因此我们使用一个属性值来代替并简化对属性的积分。

由于系统处于定常态下，其能量不可能变化，因此输入的能量必然等于输出的能量。 考虑到能量只能以热、功和质量的形式传递，在一段时间内，我们有： \(Q_\text{in} + W_\text{in} + \sum_\text{in} m \theta = Q_\text{out} + W_\text{out} + \sum_\text{out} m \theta\) 写成对时间微分的形式： \(\dot Q_\text{in} + \dot W_\text{in} + \sum_\text{in} \dot m \theta = \dot Q_\text{out} + \dot W_\text{out} + \sum_\text{out} \dot m \theta\) 注意到输入的质量流量必然和输出的质量流量相等，并用总的能量交换代替出入口的能量交换，可得以下命题。

若出入口流体皆视为均匀，则定常系统的能量守恒方程为： \(\dot Q + \dot W = \dot m \left( h_\text{in} - h_\text{out} + e_{k,\text{in}} - e_{k,\text{out}} + e_{p,\text{in}} - e_{p,\text{out}} \right)\) 或 \(q + w = h_\text{in} - h_\text{out} + e_{k,\text{in}} - e_{k,\text{out}} + e_{p,\text{in}} - e_{p,\text{out}}\) 规定外部向系统做功为正。

系统的动能容易求解，对简单系统，其势能只有重力势能。 若不考虑势能和动能的变化，则： \(q + w = \Delta h\)

特别地，对理想气体，焓只是温度的函数，因此可利用这一关系求出开放系统流入和流出系统的工质的温度；对其他情况，则可使用查表的方式确定温度；有时也可选择$\Delta h = c_p \Delta T$的近似。

常见定常流动装置

我们介绍一些常见的以定常态分析的装置。

• 喷嘴：喷嘴以速度交换压强。通常认为喷嘴中的热量交换为零，不做功，势能变化可忽略，只有焓和动能的变化。
• 涡轮和压缩机：涡轮和压缩机以压强交换功。通常认为其中热量交换为零，势能变化可忽略，动能变化量远小于焓变，也可忽略，只考虑焓和功。
• 节流阀：节流阀和毛细管等设备不需要对外做功就能让工质的压强下降。系统没有热、功、动能和势能的变化，或其变化可忽略，因此焓也维持不变，最终内能会根据压强变化而变化。
• 换热器：换热器使用两种工质以提高或降低一种流体的温度，其中通常只考虑热量和焓变。如果需要求解换热器中的热量，则可选择一种流体为系统，否则可选取整体为系统。

非定常流动的能量分析

对于非定常的流动，我们不能在其中略去能量对时间的导数，因此方程必须写为： \(\dot Q + \dot W + \sum_\text{出入口} \dot m (h + e_k + e_p) = \frac{\mathrm d E_\text{系统}}{\mathrm d t}\)

为了简化对其研究，我们假设在出入口处流动是均匀且定常的，这样我们可以使用属性的值而非其积分进行研究。 我们可以使用平均值来达成这一效果。

从而我们可以得到非定常流动系统的能量守恒方程： \(Q_\text{in} + W_\text{in} + \sum_\text{in} m \theta - Q_\text{out} - W_\text{out} - \sum_\text{out} m \theta = m_2 e_2 - m_1 e_1\) 若忽略流体和系统的动能和势能，则可进一步简化为： \(Q_\text{in} + W_\text{in} + \sum_\text{in} m h - Q_\text{out} - W_\text{out} - \sum_\text{out} m h = m_2 u_2 - m_1 u_1\)

考虑从管道中向一真空刚体气缸充气的问题，以气缸为系统。 设充气过程中外界既不做功也不发生热量交换，则该系统的入口只有管道，没有出口，初状态的内能为零，有： \(mh_\text{in} = m u_\text{tank} \iff h_\text{in} = u_\text{tank}\) 也可以选择进入气缸的气体作为系统，此时需考虑管道中的气体推动进入气缸的气体所做的功，有： \(W + mu_\text{in} = mu_\text{tank} \iff P_\text{in} V_\text{in} + m u_\text{in} = m u_\text{tank} \iff h_\text{in} = u_\text{tank}\) 这个例子能够体现流动功的物理意义。

广义能量方程

上面的命题和推导使用了一系列的简化。 我们可以在热力学第一定律的方程上使用雷诺定理来直接得到控制体的能量守恒方程。

对任意边界可变的系统，其能量守恒方程为： \(\dot Q + \dot W = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iiint_V e \rho \mathrm d \nu + \oiint_S \left( \frac{P}{\rho} + e \right)\rho (\vec U - \vec W) \mathrm d \vec S\) 其中$\vec U$为面积元上的流速，$\vec W$为面积元上边界移动的速度。