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非线性系统——第二部分

本文主要考虑非线性系统的控制问题，即，对于局部李普希茨连续的系统： \(\dot x = f(x, u), \, f(0,0) = 0, \, f: \mathbb R^n \times \mathbb R^m \to \mathbb R^n,\) 是否存在控制律$u = \gamma(x)$，使得系统的原点是闭...

非线性系统——第一部分

本文主要介绍非线性系统的基本内容，包括含时微分方程解的唯一性与李雅普诺夫稳定性相关的内容。 微分方程解的唯一性 非线性系统通常可由一套动力系统，即系统的状态方程来描述： \(\left\{ \begin{aligned} \dot x_1 & = f_1(t, x_1, x_2, \dots, x_n...

向量的外积、张量积和楔积

在考虑两个欧几里得空间中的向量之间的“乘法运算”的时候，我们会遇到以下几种说法： 内积； 外积（Exterior product） 叉积（Cross product）； 张量积（Tensor product, outer product）； 楔积（Wedge product）。

矩阵微积分导论

最近研究机器学习相关内容时常遇到与矩阵相关的微积分计算，遂撰此文以总结之。 后文可能会大量使用爱因斯坦求和约定，请注意。 向量的梯度 先考虑一些比较简单的问题，即向量的梯度问题。 矩阵乘向量的梯度 首先考虑最简单的问题，即矩阵乘向量的梯度。 设$A$为一矩阵，$x$为一列向量，则 \(\nabla_x...

模态分析与动态响应

前面我们介绍过使用各种离散方法研究结构的静力学特性的方法。 本文将利用这些方法，进一步地研究结构的动态特性。 模态的求解 之前我们在瑞利-里兹法中介绍过模态的概念与求解。 一般来说，对于任意离散化后的系统，其模态可由以下命题求出。 对离散的微分方程系统 \(M \ddot U(x,t) + K U(x, t...

能带理论

薛定谔函数的周期解 我们将在晶格产生的周期性势场中求解薛定谔函数，并得出方程的布洛赫函数(Bloch function)解。 利用波恩-奥本海默近似，我们研究的实际上仅是电子的薛定谔函数，而原子之间的互动由经典物理处理。 我们研究周期性势能的薛定谔方程，其哈密顿算符为 \(\hat H = \sum_{j=...

晶格动力学

本文研究晶格的动力学，即晶格中原子的运动。 在之前的模型中，我们总是假设晶格中的原子是静止的；然而，这与 X 射线衍射给出的结果不相符——X 射线衍射的结果说明其中的原子总是在振动的。 在研究固体物理时，我们通常使用波恩-冯·卡门边界条件，此时要注意晶体中的两种平移周期性： \(\mathbf u(x_j, t...