向量的外积、张量积和楔积
在考虑两个欧几里得空间中的向量之间的“乘法运算”的时候,我们会遇到以下几种说法: 内积; 外积(Exterior product) 叉积(Cross product); 张量积(Tensor product, outer product); 楔积(Wedge product)。
在考虑两个欧几里得空间中的向量之间的“乘法运算”的时候,我们会遇到以下几种说法: 内积; 外积(Exterior product) 叉积(Cross product); 张量积(Tensor product, outer product); 楔积(Wedge product)。
最近研究机器学习相关内容时常遇到与矩阵相关的微积分计算,遂撰此文以总结之。 后文可能会大量使用爱因斯坦求和约定,请注意。 向量的梯度 先考虑一些比较简单的问题,即向量的梯度问题。 矩阵乘向量的梯度 首先考虑最简单的问题,即矩阵乘向量的梯度。 设$A$为一矩阵,$x$为一列向量,则 \(\nabla_x...
前面我们介绍过使用各种离散方法研究结构的静力学特性的方法。 本文将利用这些方法,进一步地研究结构的动态特性。 模态的求解 之前我们在瑞利-里兹法中介绍过模态的概念与求解。 一般来说,对于任意离散化后的系统,其模态可由以下命题求出。 对离散的微分方程系统 \(M \ddot U(x,t) + K U(x, t...
本文将聚焦于大规模使用线性代数来研究线性系统的现代控制理论。
概论
薛定谔函数的周期解 我们将在晶格产生的周期性势场中求解薛定谔函数,并得出方程的布洛赫函数(Bloch function)解。 利用波恩-奥本海默近似,我们研究的实际上仅是电子的薛定谔函数,而原子之间的互动由经典物理处理。 我们研究周期性势能的薛定谔方程,其哈密顿算符为 \(\hat H = \sum_{j=...
本文研究晶格的动力学,即晶格中原子的运动。 在之前的模型中,我们总是假设晶格中的原子是静止的;然而,这与 X 射线衍射给出的结果不相符——X 射线衍射的结果说明其中的原子总是在振动的。 在研究固体物理时,我们通常使用波恩-冯·卡门边界条件,此时要注意晶体中的两种平移周期性: \(\mathbf u(x_j, t...
本文主要研究晶体的结构问题。 晶体的空间结构 平移对称性 首先介绍晶胞的概念。 单胞(Unit cell)可分为两种:原胞(Primitive cell)和晶胞(Conventional cell)。 前者是单胞的最小单元,而后者是反应格点对称性的最小单元。 以晶体硅为例,其原胞是一个平行六面体,而晶胞是正...
固体物理是研究固体——特别是晶体——性质的学科。 本文将首先研究经典的金属模型,然后引入量子力学模型。
Finite Element Method (FEM, 有限元方法) 是一种将物体看作许多有体积的微小单元来进行仿真的方法。 比如将二维图形拆分成若干三角形,将三维体拆分成若干四面体。 这种方法能够很好的模拟弹性体的形变等特点,能够在数学上证明其仿真方法一定收敛到解析解,比MPM等使用粒子模拟的方法更加准确,但同...